Un treno giapponese della categoria Shinkansen è lungo L = 350 m e viaggia alla velocità v = 400 km/h. Secondo un osservatore a terra, in un determinato istante scoppiano due petardi, uno alla testa del treno, uno in coda e i lampi di luce raggiungono contemporaneamente un passeggero seduto nel treno. Calcola la distanza del passeggero dal centro del treno, specificando se è più avanti o più indietro rispetto al centro.


Applichiamo le Trasformazioni di Lorentz dei tempi per ricavare la differenza dei tempi di esplosione dei petardi vista da O':
{ t 1 ' = t 1 − ( β / c ) x 1 1 − β 2 t 2 ' = t 2 − ( β / c ) x 2 1 − β 2 → t 2 ' − t 1 ' = ( t 2 − t 1 ) − ( β / c ) ( x 2 − x 1 ) 1 − β 2 left lbrace stack{t_1'={t_1 - (%beta /c) x_1} over {sqrt {1 - %beta^2}} # t_2'={t_2 - (%beta /c) x_2} over {sqrt {1 - %beta^2}}} right none ~ toward t_2'- t_1'={(t_2-t_1) - (%beta /c) (x_2- x_1)} over {sqrt {1 - %beta^2}} Secondo un osservatore a terra i lampi di luce raggiungono contemporaneamente un passeggero seduto nel treno.
Quindi t2 - t1= 0 e O' osserva una differenza di tempo nell'arrivo dei due lampi di luce : t 2 ' − t 1 ' = − ( β / c ) ( x 2 − x 1 ) 1 − β 2 t_2'- t_1'={ - (%beta /c) (x_2- x_1)} over {sqrt {1 - %beta^2}}
La lunghezza del treno x2 - x1 osservata da O è contratta rispetto la lunghezza propria L0 del treno.
Possiamo ricavarla con la formula della contrazione delle lunghezze e sostituirla nella differenza di tempi scritta prima: t 2 ' − t 1 ' = − ( β / c ) ( x 2 − x 1 ) 1 − β 2 = − ( β / c ) L 0 1 − β 2 1 − β 2 = − ( β / c ) L 0 t_2'- t_1'={ - (%beta /c) (x_2- x_1)} over {sqrt {1 - %beta^2}} = { - (%beta /c) L_0 sqrt {1 - %beta^2}} over {sqrt {1 - %beta^2}} = - (%beta /c) L_0
Poniamo in O' t1' = 0, ovvero contiamo il tempo in O' a partire dello scoppio del petardoi in B. Allora il petardo in A sarà scoppiato in un tempo: t 2 ' = − ( β / c ) L 0 t_2'= - (%beta /c) L_0
che è negativo, quindi prima dello scoppio del petardo in B.
Le equazioni del moto dei raggi di luce emessi dal petardo B e dal petardo A sono : { x ' A = x ' 0 + v ( t ' − t 0 ' ) = L 0 2 − c ( t ' + β c L 0 ) x ' B = x ' 0 + v ( t ' − t 0 ' ) = − L 0 2 + c t ' left lbrace stack{x'_A = x'_0 + v (t' - t_0') = {L_0}over{2} - c (t' +%beta over c L_0) # x'_B = x'_0 + v (t' - t_0') = -{L_0}over{2} + c t' } right none
Quando i raggi si incontrano xA = xB. Da questa uguaglianza ricaviamo l'istante di tempo, a partire dallo scoppio di B, in cui i raggi raggiungono il passeggero. Infatti per quanto riguarda la luce la simultaneità dev'essere osservata in tutti i sistemi di riferimento in moto relativo perchè la velocità della luce è vista sempre la stessa. Solo le lunghezze e i tempi sono visti diversi.
x ' A = x ' B → L 0 2 − c ( t ' + β c L 0 ) = − L 0 2 + c t ' → t ' = L 0 ( 1 − β ) 2 c x'_A = x'_B toward {L_0}over{2} - c (t' +%beta over c L_0) = -{L_0}over{2} + c t' toward t' = {L_0 (1 - %beta) } over { 2 c }
La distanza del passeggero dal centro del treno (dove abbiamo posto il sistema di riferimento ) è, in conclusione,: x ' = − L 0 2 + c t ' = − L 0 2 + c L 0 ( 1 − β ) 2 c = − L 0 β 2 = − 350 ⋅ ( 400 / 3.6 ) 3 ⋅ 10 8 2 ≈ 6.5 ⋅ 10 − 5 = − 65 µm x'= -{L_0}over{2} + c t' = -{L_0}over{2} + c {L_0 (1 - %beta) } over { 2 c } = - {L_0 %beta } over { 2 } = - {350 cdot {{(400/3.6)}over {3 cdot 10^8} }} over { 2 } approx 6.5 cdot 10^-5 = - 65`µs
distanza negativa, un pò indietro rispetto al centro del treno.