Sulla superficie dell'acqua contenuta in una bacinella, due punte che salgono e scendono insieme generano due onde circolari colpendo la superficie nei punti A e B sempre nello stesso istante. Il periodo di oscillazione delle punte è T= 0.5 s e la lunghezza d'onda che si misura è 2 cm. La distanza orizzontale tra le due punte vale 20 cm.
Calcola la frequenza delle onde e la loro velocità di propagazione nell'acqua [2 Hz, 40 cm/s]
Considera un sistema di riferimento cartesiano ortogonale in cui i punti A e B hanno coordinate A(-10 cm; 0 cm) e B(+10 cm; 0 cm). Determina le coordinate dei punti C e D, nel piano cartesiano, che distano 12 cm da B e 16 cm da A. Nelle zone dove si trovano i punti C e D l'ampiezza di ciascuna delle due onde è pari a 0.80 cm. [R (2.8;9.6) cm, (2.8;-9.6) cm]
Quali sono le caratteristiche dell'interferenza nei punti C e D ? Illustra le ragioni della tua risposta e in particolare stabilisci qual è, in quei punti, l'ampiezza dell'onda risultante. [R: 1.6 cm]
Considera l'insieme dei punti, sulla superficie dell'acqua, che distano 12 cm da B. Qual'è la distanza da A dei punti più vicini a C in cui la superficie dell'acqua non si muove ? [R: AE= 15 cm, AF= 17 cm]
Dalla loro definizione:
{
f
=
1
T
=
1
0.5
=
2
H
z
v
=
λ
T
=
2
0.5
=
4
c
m
/
s
\begin{cases} f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0.5}=2\, Hz \\ v=\frac{λ}{T}=\frac{2}{0.5}=4\,cm/s \end{cases}
La distanza AC (o AD) è :
A
C
¯
2
=
(
x
A
-
x
C
)
2
+
(
y
A
-
y
C
)
2
=
16
2
⇒
(
-
10
-
x
C
)
2
+
y
C
2
=
256
La distanza BC è (o BD):
B
C
¯
2
=
(
x
B
-
x
C
)
2
+
(
y
B
-
y
C
)
2
=
12
2
⇒
(
10
-
x
C
)
2
+
y
C
2
=
144
Da cui sviluppando e mettendo a sistema:
{
100
+
x
C
2
+
20
x
C
+
y
C
2
=
256
100
+
x
C
2
-
20
x
C
+
y
C
2
=
144
⇒
256
-
144
=
20
x
C
+
20
x
C
⇒
x
C
D
=
112
40
=
2.8
c
m
\begin{cases} 100+x_C^2+20\,x_C+y_C^2=256 \\ 100+x_C^2-20\;x_C+y_C^2=144 \end{cases}⇒256-144=20\;x_C+20\;x_C⇒x_{CD}=\frac{112}{40}=2.8\;cm
e
y
C
D
=
±
256
-
(
10
+
x
C
)
2
=
±
256
-
12.8
2
=
±
9.6
c
m
Se consideriamo il rapporto tra la differenza di cammino AC e BC e la lunghezza d'onda:
AC
¯
−
BC
¯
λ
=
16
−
12
2
=
2
k= { overline {AC} - overline{BC} } over { %lambda } = { 16 - 12 } over 2 = 2
osserviamo che tale rapporto è un numero intero, quindi nei punti C e D l'interferenza è costruttiva e l'ampiezza dell'onda risultante è di 2 ·0.8 = 1.6 cm.
L'insieme dei punti P, sulla superficie dell'acqua, che distano 12 cm da B è la circonferenza centrata su B e di raggio 12 cm.
Perchè ci sia interferenza distruttiva occorre che il rapporto tra la differenza delle distanze e la lunghezza d'onda sia un numero semi-dispari :
AP
¯
−
BP
¯
λ
=
2
k
+
1
2
{ overline {AP} - overline{BP} } over { %lambda } = {{2k+1 } over 2}
Da cui:
AP
¯
=
BP
¯
+
(
2
k
+
1
)
λ
2
=
12
+
(
2
k
+
1
)
2
2
=
13
+
2
k
overline {AP}= overline{BP} + (2k+1) {{%lambda} over 2}= 12 + (2k+1) {{2} over 2}= 13 + 2k
Sostituiamo qualche valore a k:
k
=
0
:
AP
¯
=
13
+
2
k
=
13
cm
k
=
1
:
AP
¯
=
13
+
2
k
=
13
+
2
cm
=
15
cm
k
=
2
:
AP
¯
=
13
+
2
k
=
13
+
4
cm
=
17
cm
k
=
3
:
AP
¯
=
13
+
2
k
=
13
+
6
cm
=
19
cm
alignl k=0 : ~ overline {AP}= 13 + 2k= 13 cm newline k=1 : ~ overline {AP}= 13 + 2k= 13 +2 cm = 15 cm newline k=2 : ~ overline {AP}= 13 + 2k= 13 + 4 cm = 17 cm newline k=3 : ~ overline {AP}= 13 + 2k= 13 + 6 cm = 19 cm newline
Più vicini a C sono AE = 15 cm e AF = 17 cm
