Una corda d’acciaio, di lunghezza L= 50 cm e diametro d= 0.82 mm, fissata agli estremi, è tesa con una F= 600 N. La densità dell’acciaio è ρ= 7870 kg/m³. Qual è la frequenza dell’armonica fondamentale ?

La frequenza fondamentale generata da una corda fissa ad entrambe le estremità è data dalla relazione: $$f_0=\frac{v}{\lambda }=\frac{v}{2L}$$ La velocità dell'onda in una corda è data dalla formula fenomelogica: $$v=\sqrt{\frac{F_T}{{\rho }_l}}$$ Ci serve la densità lineare.
Osservando che: $$m={\rho }_l\cdot L=\rho \cdot V=\rho \cdot \pi R^2\cdot L=\rho \cdot \pi \frac{d^2}{4}\cdot L$$ (la corda è assimilabile ad un cilindro di diametro d e lunghezza L),
la densità lineare è esprimibile, in questo caso: $${\rho }_l=\rho \cdot \pi \frac{d^2}{4}$$ Sostituiamo nella formula della velocità: $$v=\sqrt{\frac{F_T}{{\rho }_l}}=\sqrt{\frac{F_T}{\rho \cdot \pi \frac{d^2}{4}}}=\sqrt{\frac{4F_T}{\rho \cdot \pi d^2}}$$ e troviamo la frequenza dell'armonica fondamentale: $$f_0=\frac{v}{2L}=\frac{\sqrt{\frac{4F_T}{\rho \cdot \pi d^2}}}{2L}=\sqrt{\frac{F_T}{\rho \cdot \pi d^2{L}^2}}$$ Sostituiamo i dati: $$f_0=\sqrt{\frac{F_T}{\rho \cdot \pi d^2{L}^2}}=\sqrt{\frac{600}{7870\cdot \pi \cdot {0.82}^2\cdot {10}^{-6}\cdot {0.5}^2}}\approx 380\mathit{Hz}$$