LENTI SOTTILI COMPOSTE

LENTI SOTTILI COMPOSTE

Costruzione dell'immagine.

Prima si tracciano due raggi, uno focale e il secondo parallelo all'asse ottico principale che verranno rifratti dalla prima lente senza tener conto della presenza della seconda lente.

Dall'immagine formata si traccia un raggio che passa per il centro ottico della seconda lente.

Questo raggio è fondamentale perché proviene dalla sorgente e passa per il centro ottico della seconda lente (non subisce rifrazione dalla seconda lente). Questo raggio è in comune sia al sistema ottico costituito dalla sola prima lente che al sistema ottico costituito dalle due lenti

Un secondo raggio è quello focale per la prima lente che, rifratto dalla prima lente, prosegue parallelo all'asse ottico principale e, nuovamente rifratto, passa per il fuoco della seconda lente.

L'immagine formata dal sistema delle due lenti.

Si può considerare l'immagine formata dalla prima lente come oggetto per la seconda lente.

Ma è un oggetto virtuale perché si trova nello stesso spazio dell'immagine. La sua posizione, rispetto alla seconda lente, sarà

p_2 = - (q_1 - d)

Equazione dei punti coniugati per la prima lente:

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q_1}=\frac{1}{f_1}$	(1)
Equazione dei punti coniugati per la seconda lente: $\frac{1}{-\left(q_1-d\right)}+\frac{1}{q_2}=\frac{1}{f_2}$	(2)

Derivazione:

\frac{1}{q_1}=\frac{1}{f_1}-\frac{1}{p}⇒q_1=\frac{f_1p}{p-f_1}

Sostituendo nella seconda equazione:

\frac{1}{d-\frac{f_1 p}{p-f_1}}+\frac{1}{q_2}=\frac{1}{f_2}⇒ \frac {p-f_1}{pd-f_1d-f_1p}+\frac{1}{q_2}=\frac{1}{f_2}⇒ \frac {p-f_1}{pd-f_1d-f_1p}=\frac{q_2-f_2}{f_2q_2}⇒

⇒\left (pd-f_1d-f_1p \right) \left(q_2-f_2\right)=\left(p-f_1\right)f_2q_2⇒pdq_2-pdf_2-q_2df_1+f_1f_2d-pq_2f_1+pf_1f_2=pq_2f_2-f_1f_2q_2⇒

⇒q_2\left(pd-df_1-pf_1-pf_2+f_1f_2\right)=pdf_2-f_1f_2d-f_1f_2p⇒q_2\left[p\left(d-f_2\right)-f_1\left(d-f_2\right)-pf_1\right]=f_2\left(pd-f_1d-f_1p\right)⇒

⇒q_2 \frac{\left(p-f_1\right)\left(d-f_2\right)-pf_1}{p-f_1}=f_2 \frac{d\left(p-f_1\right)-pf_1}{p-f_1}⇒q_2\left[\left(d-f_2\right)-\frac{pf_1}{p-f_1}\right]=f_2\left(d-\frac{p_1f_1}{p-f_1}\right)⇒

q_2= f_2 \frac{d-\frac{pf_1}{p-f_1}}{d-f_2-\frac{pf_1}{p-f_1}}

Questa formula permette di calcolare la posizione dell'immagine.

L'ingrandimento è (l'immagine formata dalla prima lente diventa oggetto per la seconda lente):

G = \frac{h_{i 2}}{h_{o 1}} = \frac{h_{i 2}}{h_{o 2}} \cdot \frac{h_{o 2}}{h_{o 1}} = \frac{h_{i 2}}{h_{o 2}} \cdot \frac{h_{i 1}}{h_{o 1}} = G_{2} \cdot G_{1}

G=\frac{q_1}{p} ⋅\frac{q_2}{d-q_1}=\frac{\frac{p f_1}{p-f_1}}{p}⋅\frac{q_2}{d-\frac{p f_1}{p-f_1}}=f_1 ⋅\frac{q_2}{d p-d f_1-p f_1}=\frac{q_2 f_1}{d\left(p-f_1\right)-p f_1}

Se q₂ tende ad infinito si ottiene la distanza focale anteriore (ffd) ponendo il denominatore della formula della posizione dell'immagine uguale a zero:

d-f_2- \frac{f_a f_1}{f_a - f_1}=0⇒\frac{f_a f_1}{f_a - f_1}=d - f_2⇒f_a f_1=d f_a - f_a f_2 - d f_1 + f_1 f_2⇒f_a\left(f_1 - d + f_2\right)=-f_1 \left( d- f_2\right)⇒f_{ffd} = \frac{f_1\left(d-f_2\right)}{d-\left(f_1 + f_2\right)}

Analogamente quando p tende ad infinito si ottiene la distanza focale posteriore (bfd) :

f_{bfd} = \frac{f_2 \left(d - f_1\right)}{d-\left(f_1 +f_2\right)}

Queste due lunghezze focali potevano essere ricavate più facilmente dalla (1) e dalla (2) ponendo p= ∞, e quindi, q₁= f₁ e q₂ = f_bfdnel caso della distanza focale posteriore o q₂= ∞, e quindi, q₁= d - f₁ e p = f_ffdnel caso della distanza focale anteriore.

Quando le lenti sono a contatto d=0 le due lunghezze focali sono uguali:

f=\frac{f_2 f_1}{f_1 + f_2

Il sistema delle due lenti sottili può essere considerato come una sola lente spessa simmetrica di lunghezza focale f e piani principali passanti per H₁ e H₂.

L'ingrandimento deve essere:

G=\left(-\frac{q_1}{p}\right) ⋅ \left(-\frac{q_2}{p_2}\right)=-\frac{q}{

Da cui la relazione:

q_1 q_2 = - q p_2

.
Se ora

p\to\inft

f_1 ⋅ q_2 = -f ⋅\left(d-f_1\right)⇒\frac{1}{q_2}=-\frac{f_1}{f\left(d-f_1\right)}

L'equazione dei punti coniugati per la seconda lente è:

\frac{1}{q_2}+\frac{1}{p_2}=\frac{1}{f_2}

Sostituendo 1/q₂ e p₂:

\frac{1}{d-f_1}-\frac{f_1}{f\left(d-f_1\right)}=\frac{1}{f_2}⇒\frac{1}{f}=\frac{d-f_1}{f_1}⋅\frac{1}{d-f_1}-\frac{d-f_1}{f_1}⋅\frac{1}{f_2}⇒\frac{1}{f}=\frac{1}{f_1}-\frac{d-f_1}{f_1f_2}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}-\frac{d}{f_1f_2}

L'equazione:

\frac{1}{f}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}-\frac{d}{f_1f_2}

Fornisce la lunghezza focale di una lente spessa simmetrica equivalente.
Occorre ora stabilire la posizione della lente spessa ovvero la posizione dei piani principali. Dalla figura si osserva che

\widebar{O_1H_1}=f-f_a

e che

\widebar{O_2H_2}=f_p - f

Sostituendo le relative lunghezze focali :

f=\frac{f_1f_2}{f_1+f_2-d}

Si ricava:

\widebar{O_1H_1}=\frac{f_1f_2}{f_1+f_2-d}-\frac{f_1\left(d-f_2\right)}{d-\left(f_1+f_2\right)}=\frac{f_1f_2+f_1d-f_1f_2}{f_1+f_2-d}=\frac{f_1d}{f_1+f_2-d}=\frac{fd}{f_2}

In modo analogo

\widebar{O_2H_2}=\frac{fd}{f_1}

La lente equivalente può essere anche rappresentata da una opportuna lente sottile.

Infatti se consideriamo, per la combinazione ottica iniziale, i raggi incidenti paralleli all'asse ottico principale e quelli emergenti senza considerare le due lenti, questi raggi è come se provenissero da una unica lente di centro ottico O.
Dalla figura si può ricavare che

\frac{x_1}{2}= f \cdot \tan\left(\theta\right)

e che

\frac{x_2}{2}= q_2 \cdot \tan\left({\theta}\right)

, da cui

\frac{x_1}{x_2}=\frac{f}{q_2}

. Ma anche che:

\frac{x_1}{2}=f_1 \cdot \tan\left({\alpha}\right)

e che

\frac{x_2}{2}=\left(f_1-d\right) \cdot \tan\left({\alpha}\right)

, da cui

\frac{x_1}{x_2}=\frac{f_1}{f_1-d}

.
Uguagliando i due rapporti si ricava:

\frac{f}{q_2}=\frac{f_1}{f_1 - d}

, da cui

\frac{1}{q_2}= \frac{f_1}{f} \cdot \frac{1}{f_1 - d}

.
L'equazione dei punti coniugati per la seconda lente è:

\frac{1}{f_2}=\frac{1}{q_2}+\frac{1}{p_2}

. p₂ è la posizione di un oggetto virtuale, posizione dell'immagine prodotta prima lente che, rispetto alla seconda lente in questo caso (raggi sulla prima lente paralleli all'asse ottico principale), è:

p_2= - \left(f_1 - d\right)

.
Da cui, sostituendo, :

\frac{1}{f_2}=\frac{f_1}{f} \cdot \frac{1}{f_1 - d} -\frac{1}{f_1-d}⇒\frac{f_1}{f} \cdot \frac{1}{f_1-d}=\frac{1}{f_2}+\frac{1}{f_1-d}⇒\frac{1}{f}=\frac{f_1-d}{f_1} \cdot \frac{1}{f_2}+\frac{1}{f_1}⇒\frac{1}{f}= \frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}-\frac{d}{f_1f_2}