Dalla figura si ha che:
- i' = u' + ϕ'' (teorema dell'angolo esterno)
- i'' = u'' + ϕ' (teorema dell'angolo esterno)
- r' + r'' = ϕ' + ϕ'' (angoli opposti al
vertice)
- sin i' = n·sin r' (legge di Snell)
- sin i'' = n·sin r'' (legge di Snell)
Nell'approssimazione parassiale: sin α ≃ α da
cui:
e anche, sostituendo,
Sommando le due ultime equazioni:
La distanza SH' è la distanza dell'oggetto, p e la
distanza H''S' è la distanza dell'immagine, q.
Dalla figura si può osservare che, per angoli piccoli
(approssimazione parassiale), :
Sostituendo
si trova:
Nel sostituire p e q al posto di u' e u'' e R1
e R2 al posto di ϕ' e ϕ'' bisogna fare
attenzione ai segni.
Infatti queste distanze in ottica parassiale
possono essere positive o negative mentre
geometricamente questi angoli sono positivi. La
soluzione è separare lo spazio degli oggetti e
quello delle immagini. A parte la sorgente, che
definisce lo spazio degli oggetti, tutto quello che si
trova nello spazio degli oggetti è negativo e tutto
quello che i trova nello spazio delle immagini è
positivo.
Dalla figura si vede che R1 si trova nello
spazio degli oggetti ed è negativo.
Quindi applicando l'equazione dei punti coniugati
per le lenti sottili e questa convenzione,
l'equazione del costruttore di lenti diventa:
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