L'EQUAZIONE DEL COSTRUTTORE DI LENTI



Dalla figura si ha che:
  • i' = u' + ϕ''  (teorema dell'angolo esterno)
  • i'' = u'' + ϕ'  (teorema dell'angolo esterno)
  • r' + r'' = ϕ' + ϕ''  (angoli opposti al vertice)
  • sin i' = n·sin r' (legge di Snell)
  • sin i'' = n·sin r'' (legge di Snell) 

Nell'approssimazione parassiale: sin α ≃  α da cui: {inrinr\begin{cases} i' \approx n r' \\ i'' \approx n r'' \end{cases} e anche, sostituendo,    {nr=u+ϕ
nr=u+ϕ
\begin{cases} n r' = u' + ϕ'' \\ n r''= u'' + ϕ'\end{cases}

Sommando le due ultime equazioni: n(r+r)=u+ϕ+u+ϕn(ϕ+ϕ)=u+u+ϕ+ϕ(n-1)(ϕ+ϕ)=u+un(r'+r'')= u'+ϕ' + u'' + ϕ'' ⇒n(ϕ' + ϕ'') = u' + u'' + ϕ' + ϕ''⇒(n-1)(ϕ'+ϕ'')=u'+u''
La distanza SH' è la distanza dell'oggetto, p e la distanza H''S' è la distanza dell'immagine, q.
Dalla figura si può osservare che, per angoli piccoli (approssimazione parassiale), :
 u=hpu=hqϕ=hR1ϕ=hR2u'=\frac{h}{p}\qquad u''=\frac{h}{q}\qquad ϕ'=\frac{h}{R_1}\qquad ϕ''=\frac{h}{R_2}Sostituendo si trova:(n-1)(hR1+hR2)=hp+hq(n-1) \left(\frac{h}{R_1}+\frac{h}{R_2}\right)=\frac{h}{p}+\frac{h}{q}\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\left(n-1\right)\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right) Nel sostituire p e q al posto di u' e u'' e  R1 e R2 al posto di ϕ' e ϕ'' bisogna fare attenzione ai segni.
Infatti queste distanze in ottica parassiale possono  essere positive o negative mentre geometricamente  questi angoli sono positivi. La soluzione è separare  lo spazio degli oggetti e quello delle immagini. A parte la sorgente, che definisce lo spazio degli oggetti, tutto quello che si trova nello spazio degli oggetti è negativo e tutto quello che i trova nello spazio delle immagini è positivo.
Dalla figura si vede che R1 si trova nello spazio degli oggetti ed è negativo.
Quindi applicando l'equazione dei punti coniugati per  le lenti sottili e questa convenzione, l'equazione del costruttore di lenti diventa:1f=(n-1)(1R2-1R1)\frac{1}{f}=\left(n-1\right)\left(\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}\right)