CALCOLO DI MOMENTI DI INERZIA

SFERA PIENA

Il momento di inerzia di un sottile disco sferico è:

$\mathrm{dI}=\frac{1}{2}{r}^2\mathrm{dm}$

Se la densità ρ è costante: $\mathrm{dm}=\rho ·\mathrm{dV}=\rho ·\pi r^2·\mathrm{dz}$

Da cui, sostituendo:

$\mathrm{dm}=\frac{1}{2}{r}^2·\rho ·\pi r^2·\mathrm{dz}=\frac{\pi }{2}\rho ·r^4\mathrm{dz}$

A sua volta : $r^2=R^2-z^2$, da cui:

$\mathrm{dI}=\frac{\pi }{2}\rho ·{(R^2-z^2)}^2$dz

Integrazioni su z:

$I_{\mathrm{emisfera}}={\int }_0^R\mathrm{dI}=\frac{1}{2}\mathrm{\rho \pi }{\int }_0^R{(R^2-z^2)}^2\mathrm{dz}=$

$=\frac{1}{2}\mathrm{\rho \pi }{\int }_0^R(R^4+z^4-2R^2{z}^2)\mathrm{dz}=\frac{1}{2}\mathrm{\rho \pi }{\mid R^4·z+\frac{z^5}{5}-\frac{2}{3}{R}^2{z}^3\mid }_0^R=\frac{1}{2}\mathrm{\rho \pi }(R^5+\frac{R^5}{5}-\frac{2}{3}{R}^5)=\frac{4}{15}\mathrm{\rho \pi }{R}^5=\frac{4}{15}·\frac{3}{2}·\frac{m}{\pi R^3}·R^5=\frac{2}{5}·m{R}^2$. Lo stesso valore si ottiene per la sfera.