IL TEOREMA DEL GUSCIO SFERICO

Due masse, una puntiforme e l'altra un guscio sferico, interagiscono gravitazionalmente. Per l'anello colorato di massa dm di figura la forza generata sulla massa M diretta lungo OA ed uguale a:

dF = G M dm x 2 cos α

Se il guscio sferico omogeneo di densit ρ la massa dell'anello dm :

dm = ρ dV = ρ 2 πR sin θ Rdθ s

con s lo spessore del guscio sferico.

Quindi la forza :

dF = GM 2 π R 2 cos α sin θ x 2

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Esprimiamo la forza tra anello e massa M in funzione solo di x .

Applicando il teorema del coseno di Carnot:

x 2 = R 2 + r 2 2 Rr cos θ R cos θ = r 2 + R 2 x 2 2 r

Dalla figura si pu osservare che :

cos α = AC x = AO OC x = r R cos θ x = r r 2 + R 2 x 2 2 r x = 2 r 2 r 2 R 2 + x 2 2 r x = r 2 R 2 + x 2 2 r x

Infine differenziando Rcosθ:

( R cos θ ) θ = d dx ( r 2 + R 2 2 r x 2 2 r ) R sin θ = x r dx sin θd θ = x rR dx

Sostituendo tutto nella forza dF:

dF = GM 2 π R 2 r 2 R 2 + x 2 2 r x 3 x rR dx = GMπRsρ r 2 r 2 R 2 + x 2 x 2 dx

Integrando da r-R a r+R:

F = GMπRsρ r 2 r R r + R r 2 R 2 + x 2 x 2 dx = GMπRsρ r 2 [ ( r 2 R 2 ) r R r + R 1 x 2 dx + r R r + R dx ] = GMπRsρ r 2 [ ( r 2 R 2 ) ( 1 r + R + 1 r R ) + ( r + R r + R ) ] =

= GMπRsρ r 2 [ ( r 2 R 2 ) ( R r + r + R r 2 R 2 ) + 2 R ] = GMπRsρ r 2 4 R = GM r 2 ρ s 4 π R 2 = GMm r 2

(il volume del guscio sferico 4πR2s).

Si cos dimostrato che l'interazione tra un guscio sferico di massa m e una massa puntiforme di massa M equivalente all'interazione di due masse puntiformi di massa M ed m con la massa m collocata al centro del guscio sferico