Blocchi, fili e carrucole

Due blocchi sono collegati con un filo e uno è posto su un piano inclinato senza attrito.

Determinare l'accelerazione del sistema e la tensione del filo in assenza d'attrito.

Se si ipotizza che il blocco M scenda giù e che il blocco m salga sù, le equazioni del moto di Newton si possono scrivere:

Blocco M:

{\begin{matrix} a s s e x & M g - F_{t} = M a \\ a s s e y & 0 = 0 \end{matrix}

Blocco m:

{\begin{matrix} a s s e x & F_{t} - m g \cdot s i n α = m a \\ a s s e y & F_{v} - m g \cdot c o s α = 0 \end{matrix}

Sommando le due equazioni relative all'asse x si ottiene l'accelerazione:

{M g - F_{t} + F}_{t} - m g \cdot s i n α = M a + m a \to M g - m g \cdot s i n α = (M + m) a \to a = \frac{M - m \cdot s i n α}{M + m} g

Da cui anche la tensione:

F_{t} = M g - M a = M g - M \cdot \frac{M - m \cdot s i n α}{M + m} g = \frac{M + m - M + m \cdot s i n α}{M + m} \cdot M g = \frac{m \cdot M \cdot (1 + s i n α)}{M + m} g

Notare che se l'inclinazione è nulla si ottiene il caso 3).

Due blocchi sono collegati con un filo e uno è posto su un piano inclinato con attrito.

Determinare l'accelerazione del sistema e la tensione del filo.

Se si ipotizza che il blocco m scenda giù e che il blocco M salga sù, le equazioni del moto di Newton si possono scrivere:

Blocco m:

{\begin{matrix} a s s e x : & m g \cdot s i n α - F_{t} - F_{a} = m a \\ a s s e y : & F_{v} - M g \cdot c o s α = 0 \end{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix}

Blocco M:

{\begin{matrix} a s s e x : & F_{t} - M g = m a \\ a s s e y : & 0 = 0 \end{matrix}

Sommando le due equazioni relative all'asse x (e sostituendo F_a= μF_v
=μ·mgcosα) si ottiene l'accelerazione:

m g s i n α - μ m g c o s α - F_{t} + F_{t} - M g = m a + M a \to

\to [m (s i n α - μ c o s α) - M] g = (m + M) a \to a = \frac{m (s i n α - μ c o s α) - M}{m + M} g

Da cui anche la tensione:

F_{t} = M a + M g = M \cdot \frac{m (s i n α - μ c o s α) - M}{m + M} g + M g = \frac{m (s i n α - μ c o s α) - M + m + M}{M + m} \cdot M g =

= \frac{m \cdot M \cdot (1 + s i n α - μ c o s α)}{M + m} g

Un blocco è poggiato su un piano inclinato α e senza attrito. È trascinato su con una forza F mediante un filo che forma un angolo β con il piano inclinato.

Determina l'accelerazione del blocco.

Occorre scomporre la forza F. Le equazioni del moto di Newton sono:

{\begin{matrix} a s s e x : & F \cdot c o s β - m g \cdot s i n α = m a \\ a s s e y : & F \cdot s i n β + F_{v} - m g \cdot c o s α = 0 \end{matrix}

Da cui l'accelerazione:

a = \frac{F}{m} \cdot c o s β - g \cdot s i n α

Un blocco è poggiato su un piano inclinato α con attrito. È trascinato su con una forza F mediante un filo che forma un angolo β con il piano inclinato.

Determina l'accelerazione del blocco.

Occorre scomporre la forza F e tener presente che la F_a dipenderà da F_v e da F. Le equazioni del moto di Newton sono:

{\begin{matrix} a s s e x : & F \cdot c o s β - m g \cdot s i n α - F_{a} = m a \\ a s s e y : & F \cdot s i n β + F_{v} - m g \cdot c o s α = 0 \end{matrix}

Ma F_a= μ·F_v=mg·cosα-F·sinβ.

Da cui, sostituendo nell'equazione orizzontale, l'accelerazione:

a = \frac{F}{m} \cdot c o s β - g \cdot s i n α - \frac{μ F_{v}}{m} = \frac{F}{m} \cdot c o s β - g \cdot s i n α - \frac{μ (m g c o s β - F s i n α)}{m} =

= \frac{F}{m} (c o s β - μ s i n β) - g (s i n α + μ c o s β)

Due blocchi sono collegati con un filo e uno è posto su un piano inclinato senza attrito. Determinare l'accelerazione del sistema e la tensione del filo in assenza d'attrito. Se si ipotizza che il blocco M scenda giù e che il blocco m salga sù, le equazioni del moto di Newton si possono scrivere:
Blocco M: ${\begin{matrix} a s s e x & M g - F_{t} = M a \\ a s s e y & 0 = 0 \end{matrix}$		Blocco m: ${\begin{matrix} a s s e x & F_{t} - m g \cdot s i n α = m a \\ a s s e y & F_{v} - m g \cdot c o s α = 0 \end{matrix}$
Sommando le due equazioni relative all'asse x si ottiene l'accelerazione: ${M g - F_{t} + F}_{t} - m g \cdot s i n α = M a + m a \to M g - m g \cdot s i n α = (M + m) a \to a = \frac{M - m \cdot s i n α}{M + m} g$ Da cui anche la tensione: $F_{t} = M g - M a = M g - M \cdot \frac{M - m \cdot s i n α}{M + m} g = \frac{M + m - M + m \cdot s i n α}{M + m} \cdot M g = \frac{m \cdot M \cdot (1 + s i n α)}{M + m} g$ Notare che se l'inclinazione è nulla si ottiene il caso 3).
Due blocchi sono collegati con un filo e uno è posto su un piano inclinato con attrito. Determinare l'accelerazione del sistema e la tensione del filo. Se si ipotizza che il blocco m scenda giù e che il blocco M salga sù, le equazioni del moto di Newton si possono scrivere:
Blocco m: ${\begin{matrix} a s s e x : & m g \cdot s i n α - F_{t} - F_{a} = m a \\ a s s e y : & F_{v} - M g \cdot c o s α = 0 \end{matrix} \begin{matrix} \end{matrix}$	Blocco M: ${\begin{matrix} a s s e x : & F_{t} - M g = m a \\ a s s e y : & 0 = 0 \end{matrix}$
Sommando le due equazioni relative all'asse x (e sostituendo F_a= μF_v =μ·mgcosα) si ottiene l'accelerazione:
$m g s i n α - μ m g c o s α - F_{t} + F_{t} - M g = m a + M a \to$
$\to [m (s i n α - μ c o s α) - M] g = (m + M) a \to a = \frac{m (s i n α - μ c o s α) - M}{m + M} g$
Da cui anche la tensione:
$F_{t} = M a + M g = M \cdot \frac{m (s i n α - μ c o s α) - M}{m + M} g + M g = \frac{m (s i n α - μ c o s α) - M + m + M}{M + m} \cdot M g =$
$= \frac{m \cdot M \cdot (1 + s i n α - μ c o s α)}{M + m} g$


Un blocco è poggiato su un piano inclinato α e senza attrito. È trascinato su con una forza F mediante un filo che forma un angolo β con il piano inclinato. Determina l'accelerazione del blocco. Occorre scomporre la forza F. Le equazioni del moto di Newton sono:
${\begin{matrix} a s s e x : & F \cdot c o s β - m g \cdot s i n α = m a \\ a s s e y : & F \cdot s i n β + F_{v} - m g \cdot c o s α = 0 \end{matrix}$
Da cui l'accelerazione:
$a = \frac{F}{m} \cdot c o s β - g \cdot s i n α$



Un blocco è poggiato su un piano inclinato α con attrito. È trascinato su con una forza F mediante un filo che forma un angolo β con il piano inclinato. Determina l'accelerazione del blocco. Occorre scomporre la forza F e tener presente che la F_a dipenderà da F_v e da F. Le equazioni del moto di Newton sono:
${\begin{matrix} a s s e x : & F \cdot c o s β - m g \cdot s i n α - F_{a} = m a \\ a s s e y : & F \cdot s i n β + F_{v} - m g \cdot c o s α = 0 \end{matrix}$
Ma F_a= μ·F_v=mg·cosα-F·sinβ. Da cui, sostituendo nell'equazione orizzontale, l'accelerazione:
$a = \frac{F}{m} \cdot c o s β - g \cdot s i n α - \frac{μ F_{v}}{m} = \frac{F}{m} \cdot c o s β - g \cdot s i n α - \frac{μ (m g c o s β - F s i n α)}{m} =$
$= \frac{F}{m} (c o s β - μ s i n β) - g (s i n α + μ c o s β)$