FLUSSO DI RADIAZIONE DI UN DIPOLO HERTZIANO

Consideriamo un dipolo di lunghezza l percorso da una corrente i alternata (dipolo hertziano).
La carica del dipolo sarà variabile nel tempo e la sua variazione è Δq = i Δt.
Una carica elettrica netta genera nello spazio un potenziale elettrico dato da:

V (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Δ q}{r}

se la carica varia nel tempo il potenziale generato nello spazio sarà:

V (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{i Δ t}{r}

possiamo supporre che nel dipolo si instaurino delle onde stazionarie di corrente.
Il tempo di variazione sarà legato alla velocità della luce dalla relazione:

Δ t = \frac{Δ l}{c}

dove Δl è la lunghezza del dipolo.
Sostituiamo:

V (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{i}{r} \frac{Δ l}{c}

ora sostituiamo la corrente alternata:

V (r, t) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{I_{0} \cos ω t}{r} \frac{Δ l}{c}

Questa formula del potenziale non tiene conto del tempo che l'onda impiega per raggiungere il punto in esame P.
Alla velocità della luce il tempo per percorrere la distanza OP= r è t_P= r/c e quindi il potenziale in P risulterà variare in ritardo rispetto all'istante t in cui nel dipolo è stata generata la variazione di carica.
Quindi il corretto potenziale nel punto P al tempo t sarà:

V (r, t) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{I_{0} \cos ω (t - r / c)}{r} \frac{Δ l}{c}

perchè la sua variazione deve essere riferita al tempo precendente t - t_P= t - r/c.
Il campo elettrico nel punto P è uguale all'opposto della derivata spaziale del potenziale:

E (r, t) = - \frac{d V (r, t)}{dr} = - \frac{I_{0} Δ l}{4 π ϵ_{0} c} \frac{d}{d r} (\frac{\cos ω (t - r / c)}{r}) = - \frac{I_{0} Δ l}{4 π ϵ_{0} c} \frac{(ω r / c) \sin ω (t - r / c) - \cos ω (t - r / c)}{r^{2}}

Il campo elettrico è formato da due componenti.
Una componente che dipende dal reciproco della distanza, detta "di radiazione":

E_{r} (r, t) = - \frac{I_{0} Δ l ω}{4 π ϵ_{0} c^{2}} \cdot \frac{\sin ω (t - r / c)}{r}

e una componente che dipende dal quadrato del reciproco della distanza detta "di induzione":

E_{i} (r, t) = \frac{I_{0} Δ l}{4 π ϵ_{0} c} \cdot \frac{\cos ω (t - r / c)}{r^{2}}

La componente di induzione, inversamente proporzionale al quadrato della distanza, rispetto alla componente di radiazione decresce più rapidamente per cui a, grande distanza dal dipolo, il campo elettrico è dato, con buona approssimazione, solo dalla componente di radiazione.
Considerando che, in un'onda elettromagnetica, ω/c= 2πλ e che

ϵ_{0} c = \sqrt{\frac{ϵ_{0}}{μ_{0}}}

si ha che il modulo del campo elettrico di radiazione del dipolo è dato da:

E_{r} (r, t) = \sqrt{\frac{μ_{0}}{ϵ_{0}}} \cdot \frac{I_{0} Δ l}{2 λ r} \cdot \sin ω (t - r / c)

Il campo magnetico di radiazione, perpendicolare al campo elettrico, è dato dalla relazione B= E/c da cui:

B_{r} (r, t) = μ_{0} \cdot \frac{I_{0} Δ l}{2 λ r} \cdot \sin ω (t - r / c)

Questi campi sono quelli misurabili in un piano normale al dipolo a distanza r (nella figura a sinistra è rappresentato da una sinusoide blu) ; in una direzione inclinata di un angolo θ (sinusoide rossa) rispetto all'asse del dipolo il campo di radiazione è attenuato perchè occorre considerare la componente del campo perpendicolare alla direzione di propagazione.
Quindi la componente del campo elettrico di radiazione perpendicolare alla direzione di propagazione in un punto P dello spazio è:

E_{r} (r, t) = \sqrt{\frac{μ_{0}}{ϵ_{0}}} \cdot \frac{I_{0} Δ l \sin θ}{2 λ r} \cdot \sin ω (t - r / c)

Il valore efficace del campo elettrico di radiazione sarà:

E_{eff} = \sqrt{\frac{μ_{0}}{ϵ_{0}}} \cdot \frac{I_{eff} Δ l \sin θ}{2 λ r} = E_{\max} \sin θ

con E_max il valore massimo del campo efficace che si ottiene lungo l'asse del bipolo. Il dipolo irradia un'onda elettromagnetica nello spazio la cui intensità alla partenza dal dipolo dipende dalla direzione di radiazione, per esempio nella direzione della retta a cui appartiene il dipolo la radiazione emessa è zero (il dipolo ha una certa direttività nell'emissione). Possiamo costruire una figura geometrica con l'intensità del campo elettrico in tre dimensioni che detta figura di radiazione del dipolo che ha forma di un toroide e che è detta figura di radiazione di un'antenna omnidirezionale:

Consideriamo ora l'energia emessa dal dipolo nello spazio.
Il modulo medio del vettore di Pointing o irradiamento è dato da:

\bar{S} = \frac{E_{eff} B_{eff}}{μ_{0}}

dove E_eff e B_eff sono i valori efficaci dei campi elettrico e magnetico.
Sostituendo i campi otteniamo:

\bar{S} = \sqrt{\frac{μ_{0}}{ϵ_{0}}} \cdot \frac{I_{eff}^{2} {(Δ l)}^{2}}{4 λ^{2} r^{2}} \cdot \sin^{2} θ

Per calcolare la potenza complessivamente itrradiata in tutte le direzioni dobbiamo calcolare l'integrale di superficie:

P = \int S dA

Questo integrale può essere calcolato facilmente se ci poniamo a grande distanza dal dipolo (e dove il campo di induzione è trascurabile), in questo caso il dipolo ha le dimensione di un centro di radiazione puntiforme e possiamo sfruttare la simmetria sferica. Innanzi tutto consideriamo la potenza che viene irradiata su una corona circolare di spessore infinitesimo.

Per calcolare l'area dA della corona circolare di spessore infinitesimo bisogna moltiplicare la circonferenza di raggio R per lo spessore dL (superficie laterale di un cilindro di altezza infinitesima) . A sua volta dL, lunghezza infinitesima dell'arco, è legata all'ampiezza della variazione infinitesima dell'angolo (se espresso in radianti). Si ha:

dA = 2 π R \cdot dL = 2 π r \sin θ dL = 2 π r \sin θ \cdot r d θ = 2 π r^{2} \sin θ d θ

Adesso che abbiamo sia il modulo del vettore di Poynting sia l'area infinitesima ambedue espressi in funzione dell'angolo θ possiamo calcolare la potenza irradiata:

P = \int \bar{S} d A = \int_{0}^{π} \sqrt{\frac{μ_{0}}{ϵ_{0}}} \cdot \frac{I_{eff}^{2} {(Δ l)}^{2}}{4 λ^{2} r^{2}} \cdot \sin^{2} θ 2 π r^{2} \sin θ d θ = \sqrt{\frac{μ_{0}}{ϵ_{0}}} \cdot \frac{I_{eff}^{2} {(Δ l)}^{2}}{4 λ^{2}} \cdot 2 π \cdot \int_{0}^{π} \sin^{3} θ d θ

Calcoliamo la primitiva di sin³θ con il metodo di sostituzione:

\begin{matrix} \int \sin^{3} x dx = \int \sin x (1 - \cos^{2} x) dx \\ u = \cos x \Rightarrow du = - \sin x dx \Rightarrow dx = - \frac{du}{\sin x} \\ \int \sin^{3} x dx = \int \sin x (1 - \cos^{2} x) dx = - \int \sin x (1 - u^{2}) \frac{du}{\sin x} = - \int (1 - u^{2}) du = \\ = - u + \frac{u^{3}}{3} + c = - \cos x + \frac{\cos^{3} x}{3} + c \end{matrix}

Quindi il calcolo dell'interale definito è:

\int_{0}^{π} \sin^{3} θ d θ = {[- \cos θ + \frac{\cos^{3} θ}{3}]}_{0}^{π} = (- \cos π + \frac{\cos^{3} π}{3}) - (- \cos 0 + \frac{\cos^{3} 0}{3}) = (1 - \frac{1}{3}) - (- 1 + \frac{1}{3}) = \frac{4}{3}

Da cui la potenza irradiata dal dipolo hertziano in tutto lo spazio:

P = \sqrt{\frac{μ_{0}}{ϵ_{0}}} \cdot \frac{I_{eff}^{2} {(Δ l)}^{2}}{4 λ^{2}} \cdot 2 π \cdot \int_{0}^{π} \sin^{3} θ d θ = \sqrt{\frac{μ_{0}}{ϵ_{0}}} \cdot \frac{I_{eff}^{2} {(Δ l)}^{2}}{4 λ^{2}} \cdot 2 π \cdot \frac{4}{3} = \frac{2 π}{3} \cdot \sqrt{\frac{μ_{0}}{ϵ_{0}}} \cdot \frac{I_{eff}^{2} {(Δ l)}^{2}}{λ^{2}}

Supponendo che lo spazio si comporti come un mezzo resistivo, ricordando la formula della potenza P= I²R, si ha che la resistenza di radiazione di un dipolo hertziano è:

R_{r} = \frac{P}{I^{2}} = \frac{2 π}{3} \cdot \sqrt{\frac{μ_{0}}{ϵ_{0}}} \cdot {(\frac{Δ l}{λ})}^{2} \approx 790 {(\frac{Δ l}{λ})}^{2} Ω

IL GUADAGNO D'ANTENNA

Un radiatore perfettamente puntiforme è associato ad un campo perfettamente isotropico, irradia uniformemente in tutte le direzioni e il suo diagramma di radiazione è perfettamente sferico. Se P_r è la potenza irradiata, il suo irradiamento o valor medio del vettore di Poynting è:

\bar{S_{0}} = \frac{P_{r}}{4 π r^{2}}

Anche il semplice dipolo hertziano, che è definito omnidirezionale, non ha comunque una distribuzione uniforme di potenza ma manifesta una certa direttività.
In generale per le antenna radianti si definisce un parametro detto guadagno d'antenna che è il rapporto tra l'irradiamento dell'antenna reale e l'irradiamento del radiatore perfettamente puntiforme:

G = \frac{\bar{S}}{\bar{S_{0}}}

É ovvio che il guadagno d'antenna dipende dalla direzione considerata.
Nel caso del dipolo hertziano se la potenza irradiata in tutto lo spazio fosse irradiata da un radiatore perfettamente puntiforme quest'ultimo emetterebbe un irradiamento:

\bar{S_{0}} = \frac{P_{r}}{4 π r^{2}} = \frac{\frac{2 π}{3} \cdot \sqrt{\frac{μ_{0}}{ϵ_{0}}} \cdot \frac{I_{eff}^{2} {(Δ l)}^{2}}{λ^{2}}}{4 π r^{2}} = \frac{1}{6 r^{2}} \cdot \sqrt{\frac{μ_{0}}{ϵ_{0}}} \cdot \frac{I_{eff}^{2} {(Δ l)}^{2}}{λ^{2}}

E il guadagno d'antenna è:

G = \frac{\bar{S}}{\bar{S_{0}}} = \frac{\sqrt{\frac{μ_{0}}{ϵ_{0}}} \cdot \frac{I_{eff}^{2} {(Δ l)}^{2}}{4 λ^{2} r^{2}} \cdot \sin^{2} θ}{\frac{1}{6 r^{2}} \cdot \sqrt{\frac{μ_{0}}{ϵ_{0}}} \cdot \frac{I_{eff}^{2} {(Δ l)}^{2}}{λ^{2}}} = \frac{3}{2} \cdot \sin^{2} θ

Il minimo guadagno d'antenna si ottiene nella direzione parallela al dipolo quando θ=0. Nella direzione normale al dipolo, lungo l'asse del segmento del dipolo, si ha il massimo guadagno che è G= 3/2. Nella pratica e per motivi legati alle caratteristiche degli apparati riceventi si preferisce esprimere il gradagno d'antenna in decibel. Il massimo guadagno d'antenna del dipolo hertziano allora è uguale a:

G = 10 \log \frac{\bar{S}}{\bar{S_{0}}} = 10 \log (\frac{3}{2}) \approx 1.76 dB