FASORI E CIRCUITI IN REGIME SINUSOIDALE

Una pura resistenza alimentata con una tensione variabile nel tempo è attraversata da una corrente data dalla legge di Ohm:$$i_R(t)=\frac{v(t)}{R}$$Se la tensione è alternata si ha: $$v(t)=\sqrt{2}V\,\sin\left({\omegat}\right)⇒i_R(t)=\sqrt{2}I_R\,\sin\left({\omegat}\right)$$ con IR e V i valori efficaci di tensione e corrente. Sempre per la legge di Ohm: $$V=R\,I_R$$
Una pura induttanza alimentata con una tensione variabile nel tempo è attraversata da una corrente data dalla legge di Faraday:$$v(t)=L\frac{di(t)}{dt}$$ Se la tensione è alternata, poiché   $\frac{d(\cos\,\omegat)}{dt}=-\omega\,\sin(\omegat)$,  la corrente deve essere, se $v(t)=\sqrt{2}V\sin\left(\omegat\right)$, :  $$i_L(t)=-\sqrt{2}I_L\omega\cos\left({\omegat}\right)$$ In questo caso tra i valori efficaci si ha la relazione:	$$i_L=$$
$$V=\omegaLI_L=X_LI_L$$ XL è detta reattanza induttiva e si misura in ohm come per le resistenze. Notare che la reattanza induttiva dipende dalla frequenza e di conseguenza un'induttanza si comporta come un circuito chiuso a basse frequenze e come un circuito aperto a frequenze molto alte.  Inoltre poiché : $$-\cos\left({\omegat}\right)=\sin\left({\omegat-\frac{\pi}{2}}\right)$$la corrente può essere anche scritta nella forma: $$i_L(t)=\sqrt{2}I_L\sin\left({\omegat-\frac{\pi}{2}}\right)$$che mostra più chiaramente la relazione di fase  tra tensione e corrente: "in una pura induttanza la corrente è in ritardo di un quarto di periodo rispetto la tensione"
Una pura capacità alimentata con una tensione variabile nel tempo è attraversata da una corrente data dalla relazione:$$i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}$$ Se la tensione è alternata, poiché   $\frac{d(\sin\,\omegat)}{dt}=\omega\,\cos(\omegat)$,  la corrente deve essere, se $v(t)=\sqrt{2}V\sin\left(\omegat\right)$, :  $$i_L(t)=\sqrt{2}I_C\omega\cos\left({\omegat}\right)$$ In questo caso tra i valori efficaci si ha la relazione:
$$V=\frac{1}{\omegaC}I_C=X_CI_C$$ XC è detta reattanza capacitiva e si misura in ohm come per le resistenze. Notare che la reattanza capacitiva dipende dalla frequenza e di conseguenza una capacità si comporta come un circuito aperto a basse frequenze e come un circuito chiuso a frequenze molto alte.  Inoltre poiché : $$\cos\left({\omegat}\right)=\sin\left({\omegat+\frac{\pi}{2}}\right)$$la corrente può essere anche scritta nella forma: $$i_C(t)=\sqrt{2}I_C\sin\left({\omegat+\frac{\pi}{2}}\right)$$che mostra più chiaramente la relazione di fase  tra tensione e corrente: "in una pura capacità la corrente è in anticipo di un quarto di periodo rispetto la tensione"
Che succede se un circuito con una resistenza, una capacità e una induttanza in serie viene alimentato con una tensione alternata ?

Succede che, applicando Kirchhoff all'unica maglia, si ha che: $$v(t)=v_L(t)+v_R(r)+v_C(t)$$ e sostituendo le relazioni fisiche di tensione e corrente dei tre componenti circuitali si ottiene: $$\sqrt{2}V\sin\left({\omegat}\right)=Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}\inti(t)dt$$ Si ottiene quindi una equazione detta integro-differenziale la cui soluzione è una corrente ancora alternata, con la stessa frequenza della tensione ma con uno sfasamento che va da  $-\pi/2$ a $+\pi/2$.  Proprio perché la corrente è ancora alternata e con la stessa frequenza della tensione ci serve  solo sapere il valore efficace della corrente e lo sfasamento. Per questo scopo  è stato concepito il metodo dei fasori.
Un fasore è un vettore che ha lo scopo di rappresentare solo l'ampiezza e la fase di una grandezza elettrica. Si possono rappresentare più fasori nello stesso piano cartesiano purché le grandezze rappresentate possiedano tutte la stessa frequenza (come nel nostro caso). Nelle figure (c) sono rappresentati i fasori delle tensioni e delle correnti per i circuiti puri. Nel caso del circuito RLC serie ci sono tre tensioni, tra loro sfasate, e una sola corrente. Conviene riferirsi alla corrente che è uguale per tutti. Tuttavia adesso si capovolgono le relazioni di fase perché la corrente è in ritardo rispetto alla tensione ai capi dell'induttanza ed in anticipo rispetto alla tensione ai capi della capacità. A lato si vede il diagramma dei fasori di un circuito RLC serie. Il fasore della tensione ai capi della serie V è allora: $$\vec{V}=\vec{V_R}+\vec{V_L}+\vec{V_C}$$Il suo modulo è: $$V=\sqrt{V_R^2+\left(V_L-V_C\right)^2}$$sostituendo le tensioni si trova :
$$V=\sqrt{(IR)^2+\left(IX_L-IX_C\right)^2}=I\sqrt{R^2+\left(X_L-X_C\right)^2}$$La grandezza fisica: $$Z=\sqrt{R^2+\left(X_L-X_C\right)^2}$$ è detta impedenza e ci permette di calcolare l'intensità della corrente che attraversa la serie:     $I=\frac{V}{Z}$ Dal diagramma dei fasori si può ricavare l'angolo di sfasamento: $$\phi=\arctan\left(\frac{V_L-V_C}{V_R}\right)=\arctan\left(\frac{IX_L-IX_C}{IR}\right)=\arctan\left(\frac{X_L-X_C}{R}\right)$$ L'angolo di fase può essere positivo o negativo; nel primo caso la serie è detta di tipo ohmico-induttivo e nel secondo caso di tipo ohmico capacitivo. L'angolo di fase è nullo se le due reattanze sono uguali e in questo caso il circuito sarà puramente resistivo (condizione di risonanza). La potenza istantanea assorbita dalla serie è data da: $$p(t)=\sqrt{2}V\sin\left({\omegat}\right)\cdot\sqrt{2}I\sin\left({\omegat+\phi}\right)=2VI\sin\left({\omegat}\right)\left[\sin\left({\omegat}\right)\cos\left({\phi}\right)+\cos\left({\omegat}\right)\sin\left({\phi}\right)\right]=2VI\sin^2\left({\omegat}\right)\cos\left({\phi}\right)+VI\sin\left({2\omegat}\right)\sin\left({\phi}\right)$$ Il valore medio di $\langle\sin^2\left({\omegat}\right)\rangle=1/2$ e di  $\langle\sin\left({2\omegat}\right)\rangle=0$  quindi la potenza media è: $$P=VI\cos\left({\phi}\right)$$ Con I e V valori efficaci della corrente e tensione. La massima potenza media assorbita si ha quando il circuito è puramente resistivo e ϕ=0 . Se ϕ=+90° il circuito è puramente induttivo e la potenza media assorbita è zero perché è solo magnetica alternata (è assorbita solo all'inizio) . Se ϕ=-90° il circuito è puramente capacitivo e la potenza media assorbita è zero perché è solo elettrica alternata (è assorbita solo all'inizio) . Nei casi intermedi la potenza media dipende dal fattore cos(ϕ) che è per questo detto fattore di potenza.