PICCOLA INTRODUZIONE ALLA RELATIVITÀ RISTRETTA

Le equazioni di Maxwell prevedono l'esistenza di onde elettromagnetiche che si propagano nel vuoto con velocità assoluta c. Nella meccanica newtoniana l'unica grandezza fisica relativa, rispetto a sistemi di riferimento inerziali, è proprio la velocità. Queste conclusioni sono in conflitto a meno che non si supponga l'esistenza di un sistema di riferimento assoluto fermo in tutto l'Universo e in questo caso ha anche un senso parlare di velocità assoluta di un corpo. A questo sistema di riferimento, invisibile e immateriale che riempie tutto l'Universo è stato dato il nome di etere. E nell'etere si propagano le onde elettromagnetiche.
Volendo dimostrare quest'ipotesi intorno al 1885 A. Michelson e E. Morley progettarono un esperimento per misurare la velocità (assoluta) della Terra rispetto all'etere. Il dispositivo, detto interferometro, crea una figura di interferenza tra due raggi di luce che si ottengono dividendo uno stesso fascio di luce monocromatica con uno specchio semiriflettente. I due raggi poi, riflessi da altri due specchi, si sovrappongono in un rilevatore creando in esso una figura di interferenza. Se si cambia l'orientamento dell'interferometro, a causa del moto relativo della Terra rispetto l'etere, deve anche cambiare la figura di interferenza.

In un primo esperimento supponiamo che la sorgente s sia parallela alla velocità della Terra come nella figura a sinistra. Tra la prima riflessione e la seconda riflessione nello specchio semiargentato lo specchio va un pò avanti rispetto all'etere e per il calcolo del tempo di attraversamento della distanza l=ab₁ occorre considerare la velocità composta

\sqrt{c^{2} - v^{2}}

.
Il tempo tra la prima riflessione e la seconda riflessione nello specchio semiargentato è:

Δ t_{1} = \frac{2 l}{\sqrt{c^{2} - v^{2}}} = \frac{2 l}{c} \frac{c}{\sqrt{c^{2} - v^{2}}} = \frac{2 l}{c} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

In un secondo esperimento l'interferometro viene ruotato di 90° in modo da porre la sorgente s perpendicolarmente alla velocità. In questo caso lo specchio semiargentato, dopo la prima riflessione va verso lo specchio riflettente e la velocità del raggio all'andata è minore della velocità al ritorno, sempre rispetto all'etere. Il tempo tra la prima riflessione e la seconda riflessione è:

Δ t_{2} = \frac{2 l}{c + v} + \frac{2 l}{c - v} = l \frac{c - v + c + v}{c^{2} - v^{2}} = \frac{2 l c}{c^{2} - v^{2}} = \frac{2 l}{c} \frac{1}{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}

In effetti non è necessario ruotare l'interferometro perchè per lo specchio c la situazione è identica a quella dello specchio b quando ruotato. Nel rilevatore arrivano allora due raggi che hanno avuto diversi tempi di percorrenza e dallo studio delle frange di interferenza era perciò possibile misurare la velocità v della Terra rispetto l'etere. Tuttavia, contrariamente alle attese, Michelson e Morley non rilevarono alcuna differenza nelle frange di interferenza e questo perchè non esiste alcun etere a cui si possono riferire le velocità in modo assoluto. La velocità della luce non si compone con nessuna velocità, è lei il sistema di riferimento assoluto.

Occorreva formulare una fisica che includesse la Fisica Classica e insieme la costanza della velocità della luce. Allo scopo Einstein comprese che bisognava partire dall'enunciato di due Principi:

Un sistema di riferimento inerziale è un sistema di riferimento in cui vale la legge di inerzia e la legge di inerzia vale nei sistemi di riferimento che sono in moto con velocità vettoriale costante. Quindi un sistema di riferimento inerziale è un sistema che relativamente a me che osservo è in moto a velocità vettoriale costante. Assunto che il mio sistema sia inerziale, ovvero che valga la legge di inerzia.

Supponiamo che l'osservatore O' sia in moto relativo rispetto l'osservatore O con velocità v e che, nel momento in cui i due sistemi hanno la stessa posizione relativa, emettano due raggi luminosi.
Quando il raggio emesso da O arriva nello schermo P per O è trascorso un tempo t.
La distanza di P da O è x_O=ct
Quando il raggio emesso da O' arriva nello schermo P per O' è trascorso un tempo t'.
La distanza di P da O' è x_O'=ct' (per il secondo postulato di Einstein la velocità della luce è indipendente dal sistema).
Ma O e O' sono legati dalle Trasformazioni di Galileo (TdG):

\{\begin{cases} x_{O} = x_{O'} + v t' \\ x_{O'} = x_{O} - v t \end{cases}

Se sostituiamo x_O=ct e x_O'=ct' nelle TdG si ricava v=0 ovvero i due sistemi non sono in moto relativo.
Allora le TdG devono essere modificate per essere in accordo con i postulati di Einstein e la correzione deve essere tale da ridurle, a velocità molto minori di c, alle TdG non relativistiche.

Moltiplichiamole e sostituiamo x_O=ct e x_O'=ct':

x_{O} \cdot x_{O'} = γ (x_{O} - v t) \cdot γ (x_{O'} + v t') \Rightarrow c^{2} t t' = γ^{2} (c t - v t) \cdot (c t' + v t') = γ^{2} (c^{2} - v^{2}) t t'

Da cui il fattore γ:

γ^{2} = \frac{c^{2}}{c^{2} - v^{2}} \Rightarrow γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}}

Avendo posto β=v/c. Questo fattore γ si riduce ad 1 quando v ≪ c.
Le TdG si chiamano ora Trasformazioni di Lorentz (TdL) e sono:

\{\begin{cases} x_{O} = \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} (x_{O'} + v t') \\ x_{O'} = \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} (x_{O} - v t) \end{cases}

Con un pò di algebra si possono ricavare anche le TdL dei tempi.
Per esempio:

\{\begin{cases} x_{O} \sqrt{1 - β^{2}} = x_{O'} + v t' \\ x_{O'} = \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} (x_{O} - v t) \end{cases} \Rightarrow x_{O} \sqrt{1 - β^{2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} (x_{O} - v t) + v t' \Rightarrow x_{O} (1 - β^{2}) = x_{O} - v t + v t' \sqrt{1 - β^{2}} \Rightarrow v t' \sqrt{1 - β^{2}} = x_{O} - x_{O} β^{2} - x_{O} + v t \Rightarrow t' = \frac{t - (\frac{β^{2}}{v}) x_{O}}{\sqrt{1 - β^{2}}}

In modo analogo si ricava t.
Le TdL complete sono allora:

\{\begin{cases} x = \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} (x' + v t') \\ x' = \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} (x - v t) \end{cases}

\{\begin{cases} t = \frac{t' + (\frac{β^{2}}{v}) x'}{\sqrt{1 - β^{2}}} = \frac{t' + (\frac{β}{c}) x'}{\sqrt{1 - β^{2}}} \\ t' = \frac{t - (\frac{β^{2}}{v}) x}{\sqrt{1 - β^{2}}} = \frac{t - (\frac{β}{c}) x}{\sqrt{1 - β^{2}}} \end{cases}

PICCOLA INTRODUZIONE ALLA RELATIVITÀ RISTRETTA

L'ESPERIMENTO DI MICHELSON MORLEY

I POSTULATI DI EINSTEIN

LE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ