PACCHETTO D'ONDE. Un trasmettitore
che irradia onde per un tempo di durata limitata emette un
impulso detto pacchetto d'onde. Se a t=0 il
pacchetto è descritto dalla funzione f(x) a t=x'/v il
pacchetto è descritto dalla funzione f(x - vt) dove v è la
velocità del pacchetto. Secondo il teorema di Fourier la funzione che descrive il pacchetto a t=0 può essere espressa dalla parte reale dell'integrale: con k= ω/vφ il vettore d'onda e vφ è la velocità di un'onda componente il pacchetto. |
PRINCIPIO DI HUYGENS. Ogni
elemento dΣ di un fronte d'onda si può considerare
sorgente di onde sferiche secondarie aventi la stessa
frequenza dell'onda primaria. La perturbazione prodotta
in un punto dello spazio si può calcolare come ottenuta
dalla sovrapposizione di tutte le onde secondarie
che raggiungono quel punto. ONDA PIANA MONOCROMATICA. Onda la cui grandezza fisica associata oscilla con una frequenza costante nel tempo e con l'ampiezza costante durante la propagazione. È esprimibile mediante la funzione d'onda : o con la forma complessa: con la velocità di fase dell'onda. L'argomento è la fase dell'onda. |
ONDE COERENTI. Onde la cui
differenza della loro fase è costante nel tempo. INTERFERENZA DI YOUNG. Un'onda monocromatica attraversa due fenditure da cui emergono due onde coerenti che si sovrappongono. La loro funzione è: δ è la fase a t=0 e l=0. La loro sovrapposizione è: Osservando che: |
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e che, dalla formula di
Eulero,:
si ricava: Dalla figura si deduce che, se l'angolo θ è piccolo e se lo schermo è lontano (interferenza di Fraunhofer): con y posizione sullo schermo a partire dalla retta perpendicolare alla fenditura e passante per il suo centro e L distanza tra le fenditure e lo schermo. |
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Da cui:e
sullo schermo l'ampiezza dipende dalla posizione y. L'intensità dell'onda è data dal quadrato dell'ampiezza: La posizione dei massimi (interferenza costruttiva) si ha quando: con m intero. La separazione fra due massimi o fra due minimi è: |
INTERFERENZA CON IL DOPPIO SPECCHIO DI
FRESNEL. Con il doppio specchio di Fresnel si
producono, per riflessione, due sorgenti coerenti da una
sorgente monocromatica.Si può supporre che le onde
coErenti provengano dalle due sorgenti virtuali indicate
in figura e che quindi la loro separazione sia : La separazione fra i massimi è: con R distanza dello specchio dalla sorgente e L distanza dello specchio dallo schermo. |
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INTERFERENZA PER DIVISIONE
DI AMPIEZZA. Vi sono due tipi di interferenza:
quella prodotta dalla divisione del fronte d'onda,
come accade nell'esperimento di Young, e quella prodotta
dalla divisione dell'ampiezza del fronde d'onda,
come accade nell'interferenza di onde riflesse. Per capirlo occorre ricordare la trasmissione delle onde elettromagnetiche atraverso la superficie di separazione di due mezzi. |
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Quando un'onda luminosa
incontra un mezzo con indice di rifrazione diverso viene
parzialmente riflessa. L'onda riflessa:
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INTERFERENZA DA CUNEO D'ARIA. ANELLI DI
NEWTON. Due sottili lastre di vetro si toccano a un
estremo e sono leggermente separate (la figura le due
lastre sono ampiamente separate per maggiore chiarezza, in
realtà esse sono quasi sovrapposte).
La differenza di cammino dei due raggi è: Si
osserverà interferenza costruttiva tra i due raggi se
Δl= mλ, distruttiva se Δl= (2m+1)λ/2 con m intero. Dalla proporzione:
si ricava:
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Quindi la figura di interferenza dipende
dalla posizione dell'osservatore e dallo spessore t del
cuneo d'aria. Se la lastra superiore è sostituita da una calotta sferica di vetro, il meccanismo che produce interferenza è lo stesso ma ora le frange di interferenza avranno simmetria sferica. In questo caso il percorso fatto dai raggi in aria è : Poichè rm≪ R il termine in parentesi quadra si può scrivere: da cui : |
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I massimi di interferenza
si hanno se Δl= mλ:
Si può conoscere così il diametro della calotta dalla
misura della posizione dei massimi di interferenza. |
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INTERFERENZA DA PELLICOLE
SOTTILI. Una pellicola sottile è depositata su
mezzo ottico di indice di rifrazione diverso. Possono
presentarsi diversi casi:
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Dalla figura si ricava:
e dalla legge di Snell: |
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INTERFEROMETRI. Un
interferometro principalmente serve a misurare la
lunghezza d'onda della radiazione emessa da una sorgente.
L'interferometro di Michelson è uno dei tipi
più semplici perchè basato sull'interferenza, per
divisione di ampiezza, di solo due onde di radiazione. La radiazione incidente emessa dalla sorgente S viene parzialmente riflessa verso lo specchio M2 e parzialmente trasmessa verso lo specchio M1 dallo specchio semiriflettente M posto a 45° . La differenza di cammino delle due onde, che può essere variata mediante lo specchio mobile M2, è : Si osserverà interferenza costruttiva tra i due raggi se Δl= mλ, distruttiva se Δl= (2m+1)λ/2 con m intero. Regolando d2 ci si pone per vari m nella condizione di interferenza distruttiva e dalla formula del cammino ottico si ricava la lunghezza d'onda (o la velocità se è nota la frequenza) |
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DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER E DI FRESNEL. Quando la radiazione investe un ostacolo di dimensioni confrontabili con la sua lunghezza d'onda si ha il fenomeno della diffrazione. Sono state formulati due modelli matematici per lo studio della radiazione emergente dopo aver investito l'ostacolo. Il modello di Fraunhofer o di campo lontano studia la radiazione emergente a distanza elevata dall'ostacolo, molto più grande delle sue dimensioni. IL modello di Fresnel o di campo vicino studia la radiazione emergente subito dopo l'ostacolo a distanze confrontabili con le sue dimensioni. DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER DA UNA FENDITURA LINEARE. Una sorgente coerente investe una fenditura, secondo il principio di Huygens, la radiazione nello spazio oltre la fenditura può essere prodotta da sorgenti puntiformi di onde sferiche coerenti poste nella fenditura. Se l'onda incidente è piana, nel campo lontano, l'onda emergente è di nuovo piana.
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Per ottenere l'intensità della radiazione, secondo il
principio di Huygens, occorre calcolare la somma:
da
cui, integrando : |
L'intensità dell'onda è: La posizione dei minimi di diffrazione può essere calcolata ponendo : Possiamo stimare la larghezza del massimo centrale di diffrazione: |
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DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER DA UNA
FENDITURA CIRCOLARE. Nel caso di una apertura circolare di diametro D la sovrapposizione delle onde onde sferiche puntiformi e coerenti poste nella fenditura produce una figura di diffrazione simile detta "disco di Airy" dal nome dell'astronomo britannico che per primo ricavò la formula che permette il calcolo della semilarghezza angolare del disco centrale luminoso. Questa è:Il raggio è: |
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All'interno del disco centrale è contenuto
circa l'84% del flusso luminoso totale. Rayleigh, sulla base dello studio della diffrazione da una fenditura circolare, ha stabilito che due frange adiacenti arrivano giusto ad essere risolte quando il massimo principale di una coincide con il primo minimo dell'altra. Quindi, perchè due figure di diffrazione prodotte da due sorgenti di estensione finita su uno schermo siano risolvibili, occorre che la loro separazione angolare obbedisca al criterio di Rayleigh :con D la larghezza |
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DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER DA DUE
FENDITURE LINEARI Secondo il principio di sovrapposizione questa diffrazione si può considerare come l'interferenza della radiazione prodotta, mediante diffrazione, da due fenditure lineari. Ricordando l'interferenza da due fenditure e la diffrazione da una fenditura si può scrivere: con a la larghezza delle fenditure e b la distanza tra le due fenditure. Integrando: con e . |
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DIFFRAZIONE DI FRESNEL. Se
si analizza la perturbazione emergente da una fenditura in
campo vicino le onde emesse dalle sorgenti secondarie non
possono essere più considerate piane ma sferiche. In più,
se le onde secondarie fossero davvero sfericamente
simmetriche il fronte d'onda primario genererebbe due
perturbazioni, una in avanti e una all'indietro: e ciò
ovviamente non succede. Per risolvere il problema, Fresnel
fece delle assunzioni sulle ampiezze delle onde
secondarie. In particolare, l'ampiezza delle onde
secondarie deve essere:
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LE ZONE DI FRESNEL. In figura
una sorgente puntiforme S emette onde sferiche e
vogliamo calcolare la perturbazione che raggiunge il
punto P. Consideriamo la minima distanza r, da un
certo fronte d'onda, a P (ossia OP). Le altre parti del
fronte d'onda produrranno in P perturbazioni che non sono
in fase con quella prodotta dalla parte più vicina (ossia
da O) perché il percorso più lungo dà un diverso cammino
ottico. La differenza dei cammini ottici può essere
analizzata costruendo una sfera con centro in P e raggio r
+ nλ/2. In F1 questa sfera ha raggio r + λ/2 e taglia il fronte d'onda in una circonferenza che ha il segmento SP come asse. All'interno di questa circonferenza la fase delle perturbazioni che arrivano in P varia tra 0 e π. In F2 la sfera ha raggio r + λ e le perturbazioni che arrivano in P nella corona sferica compresa tra le circonferenze per F1 e F2 hanno fasi che variano tra π e 2π . Possono essere costruite altre corone sferiche o zone in modo che ciascuna produca una radiazione in P la cui fase varia di π. Queste zone sono note come zone di Fresnel. La dimensione di queste zone dipende dalla lunghezza d'onda della luce e dalla distanza dal punto P. |
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Se lunghezza d'onda è
piccola rispetto alla distanza r, le zone si possono
considerare corone circolari di area: avendo trascurato i termini in λ2 rispetto ai termini in λr. Poiché l'area di ogni zona di Fresnel è la stessa si può assumere che ognuna di esse emetta un uguale numero di onde secondarie, e poiché la distanza di P e anche l'angolo θ (il fattore di obliquità diminuisce) aumentano, man mano che ci allontaniamo dalla zona centrale l'ampiezza in P dovuta alle zone successive diminuisce progressivamente. Per il modo in cui sono state costruite le zone la radiazione in P derivante da ogni zona è esattamente opposta in fase rispetto a quella delle zone adiacenti ma le ampiezze sono diverse. Se A1 , A2 , A3, ... sono le ampiezze in P che risultano da successive zone, poiché la fase media dell'oscillazione dovuta a zone adiacenti differisce di π , alle ampiezze pari A2 , A4, ... si possono dare valori negativi e a quelle dispari A1, A3, ... dei valori positivi. Quindi l'ampiezza totale sarà: Poiché le ampiezze dovute a zone adiacenti, anche se progressivamente decrescenti, sono quasi uguali, possiamo porre: L'ampiezza totale si può scrivere: Quindi se si considera un numero di zone sufficientemente grande, l'ampiezza totale in un punto P dovuta alle onde secondarie emesse da tutti i punti del fronte d'onda è uguale a metà dell'ampiezza dovuta all'onda secondaria emessa dalla sola zona centrale. |
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Siamo arrivati a questo risultato
considerando l'ampiezza e la fase dell'effetto dovuto a
ogni zona di semiperiodo presa come un tutto. In
realtà c'è un cambiamento continuo di fase da 0 a π lungo
la zona. Per tenerne conto si pensi di dividere la prima
zona in N zone minori distinte caratterizzate dalle
distanze da P: I contributi di ognuna delle sottozone possono essere sommati vettorialmente come nel diagramma fasoriale di figura dove N= 5. Il fattore di obliquità poi determina una leggera diminuizione graduale delle ampiezze costituenti, che si combinano a formare una specie di spirale. Se N →∞ si arriva ad una specie di spirale circolare detta curva di vibrazione. Quando si passa da una zona all'altra la spirale compie mezzo giro. |
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Il vettore che collega in
punto A con il punto C dà il contributo della prima zona,
mentre il vettore che collega A con O dà il contributo di
tutte le zone. È evidente che AC= AO/2. |
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DIFFRAZIONE DI FRESNEL DA UNA APERTURA CIRCOLARE. Supponiamo ora di inserire uno schermo opaco in O con un foro circolare di raggio R e perpendicolare a SP. Il numero di zone che sono viste da P è : | |
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Se n è un numero pari allora:
e
se è dispari:
che corrisponde ad una macchia luminosa. In generale figura di diffrazione su un piano passante per P risulta costituita da una serie di anelli concentrici di intensità luminosa variabile. L'anello centrale diventa chiaro o scuro ma mano che ci si allontana dall'apertura. Si ottiene un massimo centrale a distanza : con n un numero dispari. |
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Se nel punto O invece del foro
si colloca un disco o una sfera opachi e piccoli, questi
ostruirebbero le prime n zone per cui l'intensità in P è:
se n è molto grande A(r,t)≃Aj+1/2. Il disco opaco può ostruire solo una porzione della zona j-esima ma in ogni caso si avrà una piccola macchia luminosa in P in ogni punto dell'asse. Questa è detta macchia di Poisson dal nome dello scienziato che si ostinò a sostenere che un tale fenomeno era assurdo. |
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DIFFRAZIONE DI FRESNEL DA UNA FENDITURA.
I fenomeni di diffrazione prodotti da fenditure
rettilinee si studiano meglio se la sorgente ha la forma
di una fenditura molto sottile. In questo caso i fronti
d'onda possono essere considerati cilindrici, e l'ampiezza
risultante lungo una linea che passa per un punto P
parallela alla fenditura può essere trovata dividendo il
fronte d'onda in strisce anziché in zone circolari. La
costruzione di questi elementi di mezzo periodo è simile a
quella delle zone di Fresnel di mezzo periodo. Se r è la
distanza di P dal punto più vicino del fronte d'onda, le
distanze di P dai bordi esterni dei successivi elementi di
semiperiodo sono r + λ /2, r + λ, r + 3λ/2 e così via. Se
la lunghezza d'onda è piccola rispetto ad r queste
striscie possono essere considerate piane. La loro
area sarà: |
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con y la larghezza della
sorgente. Per poter valutare l'intensità luminosa
una linea che passa per un punto P parallela alla
fenditura consideriamo per ora il contributo delle
striscie con y positivo. Come si vede, essendo uguale la
lunghezza di queste strisce, le loro aree a differenza di
quelle delle zone di mezzo periodo, diminuiscono
rapidamente all'inizio ma più lentamente man mano che la
distanza dal centro aumenta, con le strisce più esterne
che sono praticamente molto piccole e tutte di uguale
area. Tale diminuzione è accentuata anche dall'effetto del
fattore di obliquità. Le ampiezze dovute a queste strisce
esterne, essendo approssimativamente uguali ma con fasi
alternate, si annullano l'un l'altra, e l'effetto di tutto
il fronte d'onda è dovuto praticamente solo a pochi
elementi centrali. Gli effetti di queste strisce centrali
non sono comunque uguali, come nel caso delle zone
circolari, che hanno uguali aree. |
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Se costruiamo un diagramma
fasoriale dividendo ogni zona di Fresnel, per esempio in 9
parti, dovremmo tener conto, nel disporre i vettori, della
rapida diminuzione della loro ampiezza inizialmente e
delle meno rapida diminuzione successivamente. La
risultante sarà il vettore |OZ| ma che comprende tutte le
zone di Fesnel.
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Per calcolare l'ampiezza della
radiazione in un punto P appartenente alla retta parallela
alla fenditura basta collegare due punti della spirale che
corrispondono alle coordinate degli spigoli della
fenditura. Se consideriamo un punto posto sull'asse ottico
questa ampiezza, man mano che ci si allontana dalla
fenditura, è oscillante, fino a quando, molto lontani
dalla fenditura, essa tende al limite di Fraunhofer
(contributi solo dalla prima zona di Fresnel) |
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RETICOLO DI DIFFRAZIONE. Il campo
di radiazione prodotto da diffrazione in campo lontano da
due fenditure sottili è: con , a è la larghezza della fenditura e b è la separazione tra le fenditure. Se consideriamo più fenditure si ha: moltiplichiamo con : |
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Osservando che:
e che
, sostituendo si ha: avendo posto . L'intensità della radiazione è proporzionale al quadrato dell'ampiezza: Nel punto P0 , cioè quando θ→0 (β→0 e α→0), l'intensità luminosa dovuta a tutte le fenditure è uguale a: con I0 l'intensità luminosa dovuta ad una fenditura. |
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Se n è molto grande allora a
(larghezza della fenditura) è molto piccolo e α→0 e la
posizione dei massimi principali si hanno dove: cioè dove o, sostituendo β, : o, con meno approssimazione, : Per i minimi bisogna imporre che : da cui . Non tutti gli m produrranno minimi: i valori di corrispondono a massimi secondari. |
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Ma per cui, derivando, si può ricavare la larghezza angolare della riga spettrale principale: |
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( è la semilarghezza). Questa relazione è nota anche come allargamento strumentale. Derivando l'equazione che genera le posizioni angolari dei massimi principali: si ottiene la dispersione angolare (o potere risolutivo) del reticolo. |