INTERFERENZA E DIFFRAZIONE


PACCHETTO D'ONDE. Un trasmettitore che irradia onde per un tempo di durata limitata emette un impulso detto pacchetto d'onde.  Se a t=0 il pacchetto è descritto dalla funzione f(x) a t=x'/v il pacchetto è descritto dalla funzione f(x - vt) dove v è la velocità del pacchetto.
Secondo il teorema di Fourier  la funzione che descrive il pacchetto a t=0 può essere espressa dalla parte reale dell'integrale:

f(x)=-+a(k)e-ikxdkf(x)=\int_{-\infinity}^{+\infinity}a(k)e^{-ikx}dkcon k= ω/vφ il vettore d'onda e  vφ è la velocità di un'onda componente il pacchetto.

PRINCIPIO DI HUYGENS. Ogni elemento dΣ di un fronte d'onda si può considerare sorgente di onde sferiche secondarie aventi la stessa frequenza dell'onda primaria. La perturbazione prodotta in un punto dello spazio si può calcolare come ottenuta dalla sovrapposizione  di tutte le onde secondarie che raggiungono quel punto.

ONDA PIANA MONOCROMATICA. Onda la cui grandezza fisica associata oscilla con una frequenza costante nel tempo e con l'ampiezza costante durante la propagazione. È esprimibile mediante la funzione d'onda  :

f(x,t)=Acos(kx-ωt)f(x,t)= A\, cos(kx-ωt)o con la forma complessa: f(x,t)=A0ei(kx-ωt)f(x,t)= A_0 \,e^{i\left(kx-ωt\right)} con v=ωkv=\frac{ω}{k}  la velocità di fase dell'onda. L'argomento kx-ωtkx-ωt è la  fase dell'onda.

ONDE COERENTI. Onde la cui differenza della loro fase è costante nel tempo.

INTERFERENZA DI YOUNG.
Un'onda monocromatica attraversa due fenditure da cui emergono due onde coerenti che si sovrappongono. La loro funzione è:

{A1(l,t)=A0expi(kl1-ωt+δ)A1(l,t)=A0expi(kl2-ωt+δ)\begin{cases} A_1(l,t)=A_0 \exp{\,i\left(kl_1-ωt+δ\right)}\\A_1(l,t)=A_0 \exp{\,i\left(kl_2-ωt+δ\right)} \end{cases}δ è la fase a t=0 e l=0.
La loro sovrapposizione è:

A=A1(l,t)+A2(l,t)=A0ei(kl1-ωt+δ)+A0ei(kl2-ωt+δ)=A0ei(-ωt+δ)[eikl1+eikl2]=A=A_1(l,t)+A_2(l,t)=A_0e^{i\left(kl_1-ωt+δ\right)}+A_0e^{i\left(kl_2-ωt+δ\right)}=A_0e^{i\,\left(-ωt+δ\right)}\left[e^{ikl_1}+e^{ikl_2}\right]==A0ei(-ωt+δ)[eikl1+eik(l1+Δl)]=A0ei(kl1-ωt+δ)[1+eikΔl]=A_0e^{i\,\left(-ωt+δ\right)}\left[e^{ikl_1}+e^{ik\left(l_1+Δl\right)}\right]=A_0e^{i\left(kl_1-ωt+δ\right)}\left[1+e^{ikΔl}\right]
Osservando che:(1+eiα)=(e-iα2+eiα2)eiα2\left(1+e^{iα}\right)=\left(e^{-i\frac{α}{2}}+e^{i\frac{α}{2}}\right)e^{i\frac{α}{2}}
e che, dalla formula di Eulero,:  e-iα2+eiα2=2cos(α2)e^{-i\frac{α}{2}}+e^{i\frac{α}{2}}=2\,\cos\left(\frac{α}{2}\right) si ricava:A(l,t)=2A0ei(kl1-ωt+δ+ikΔl2)cos(kΔl2)A(l,t)=2\,A_0e^{i\left(kl_1-ωt+δ+i\frac{kΔl}{2}\right)}\cos\left(\frac{kΔl}{2}\right)
Dalla figura si deduce che, se l'angolo θ è piccolo e se lo schermo è lontano (interferenza di Fraunhofer):
 θΔldθyLθ≃\frac{Δl}{d}\qquad θ≃\frac{y}{L}
con y posizione sullo schermo a partire dalla retta perpendicolare alla fenditura e passante per il suo centro e L distanza tra le fenditure e lo schermo.

Da cui:Δl=yLdΔl=\frac{y}{L}\,dA(l,t)=2A0ei(kl1-ωt+δ+ikΔl2)cos(2πλyd2L)=2A0cos(πydλL)ei(kl1-ωt+δ+ikΔl2)A(l,t)=2\,A_0e^{i\left(kl_1-ωt+δ+i\frac{kΔl}{2}\right)}\cos\left(\frac{2\pi}{λ}\cdot\frac{yd}{2L}\right)=2\,A_0\,\cos\left(\pi \frac{yd}{\lambda L}\right)e^{i\left(kl_1-ωt+δ+i\frac{kΔl}{2}\right)}
sullo schermo l'ampiezza dipende dalla posizione y.
L'intensità dell'onda è data dal quadrato dell'ampiezza:   I=4A02cos2(πydλL)=I(0)cos2(πydλL)I=4A_0^2\,cos^2\left(\pi\frac{yd}{λL}\right)= I(0)\,cos^2\left(\pi\frac{yd}{λL}\right)
La posizione dei massimi (interferenza costruttiva)  si ha quando:
 πymaxdλL=mπymax=mλLd\pi \frac{y_{max}d}{λL}=m\,\pi⇒y_{max}=mλ\,\frac{L}{d}con m intero.
La separazione fra due massimi o fra due minimi è: Δy=λLdΔy=λ\frac{L}{d}

INTERFERENZA CON IL DOPPIO SPECCHIO DI FRESNEL. Con il doppio specchio di Fresnel si producono, per riflessione, due sorgenti coerenti da una sorgente monocromatica.Si può supporre che le onde coErenti provengano dalle due sorgenti virtuali indicate in figura e che quindi la loro separazione sia :

d=2Rsinα2Rαd=2\, R\, \sinα≃2\,R\,α
La separazione fra i massimi è:
Δy=λR+Ld=λR+L2RαΔy=λ\,\frac{R+L}{d}=λ\, \frac{R+L}{2R\,α}
con R distanza dello specchio dalla sorgente e L distanza dello specchio dallo schermo.

INTERFERENZA PER DIVISIONE DI AMPIEZZA. Vi sono due tipi di interferenza: quella prodotta dalla divisione del fronte d'onda, come accade nell'esperimento di Young, e quella prodotta dalla divisione dell'ampiezza del fronde d'onda, come accade nell'interferenza di onde riflesse. 
Per capirlo occorre ricordare la trasmissione delle onde elettromagnetiche atraverso la superficie di separazione di due mezzi.

Quando un'onda luminosa incontra un mezzo con indice di rifrazione diverso viene parzialmente riflessa. L'onda riflessa:
  • non cambia fase se la luce è riflessa da una zona con indice di rifrazione minore
  • cambia fase di λ/2 quando la luce è riflessa da una zona con indice di rifrazione maggiore.
INTERFERENZA DA CUNEO D'ARIA. ANELLI DI NEWTON. Due sottili lastre di vetro si toccano a un estremo e sono leggermente separate (la figura le due lastre sono ampiamente separate per maggiore chiarezza, in realtà esse sono quasi sovrapposte).
  • Nel punto G il raggio 1 è riflesso senza cambiare fase;
  • Nel punto B il raggio 2 è riflesso cambiando fase;

La differenza di cammino dei due raggi è:

Δl=2<GB¯>+λ2Δl=2<\widebar{GB}>+\frac{λ}{2}Si osserverà interferenza costruttiva tra i due raggi se Δl= mλ, distruttiva se Δl= (2m+1)λ/2 con m intero.

Dalla proporzione: <GB¯>x1=tL\frac{<\widebar{GB}>}{x_1}=\frac{t}{L}   si ricava:  <GB¯>=tLx1<\widebar{GB}>=\frac{t}{L}x_1


Quindi la figura di interferenza dipende dalla posizione dell'osservatore e dallo spessore t del cuneo d'aria.
Se la lastra superiore è sostituita da una calotta sferica di vetro, il meccanismo che produce interferenza è lo stesso ma ora le frange di interferenza avranno simmetria sferica.
In questo caso il percorso fatto dai raggi in aria è :

Δl=2[R-R2-rm2]+λ2Δl=2\left[R-\sqrt{R^2-r_m^2}\right]+\frac{λ}{2}Poichè rm≪ R il termine in parentesi quadra si può scrivere:

R-R2-rm2=R[1-1-rm2R2]R[1-(1-12rm2R2)]=rm22RR-\sqrt{R^2-r_m^2}=R\left[1-\sqrt{1-\frac{r_m^2}{R^2}}\right]≃R\left[1-\left(1-\frac{1}{2}\frac{r_m^2}{R^2}\right)\right]=\frac{r_m^2}{2R}da cui : Δl=rm2R+λ2Δl=\frac{r_m^2}{R}+\frac{λ}{2}

I  massimi di interferenza si hanno se Δl= mλ: rm2R+λ2=mλR=rm2λ(m+12)\frac{r_m^2}{R}+\frac{λ}{2}=mλ⇒R=\frac{r_m^2}{λ\left(m+\frac{1}{2}\right)} Si può conoscere così il diametro della calotta dalla misura della posizione dei massimi di interferenza.
INTERFERENZA DA PELLICOLE SOTTILI. Una pellicola sottile è depositata su  mezzo ottico di indice di rifrazione diverso. Possono presentarsi diversi casi:
  1. n1<n2<n3. Nel punto A il raggio 1 è riflesso cambiando fase e  anche nel punto B il raggio 2 è riflesso cambiando fase. 
    La differenza dicammino ottico è:Δl=n2(AB¯+BC¯)+λ2-n1AD¯+λ2=n2(AB¯+BC¯)-n1AD¯Δl=n_2\left(\widebar{AB}+\widebar{BC}\right)+\frac{λ}{2}-n_1\widebar{AD}+\frac{λ}{2}=n_2\left(\widebar{AB}+\widebar{BC}\right)-n_1\widebar{AD}Si osserverà interferenza costruttiva tra i due raggi se Δl= mλ, distruttiva se Δl= (2m+1)λ/2 con m intero.
  2. n1<n2 e n2>n3. Nel punto A il raggio 1 è riflesso cambiando fase e ma nel punto B il raggio 2 è riflesso senza cambiare la fase. 
    La differenza dicammino ottico è:Δl=n2(AB¯+BC¯)+λ2-n1AD¯Δl=n_2\left(\widebar{AB}+\widebar{BC}\right)+\frac{λ}{2}-n_1\widebar{AD}Si osserverà interferenza costruttiva tra i due raggi se Δl= mλ, distruttiva se Δl= (2m+1)λ/2 con m intero.

Dalla figura si ricava: AB¯+BC¯=2tcosθ2\widebar{AB}+\widebar{BC}=2\frac{t}{\cosθ_2}AD¯=AC¯sinθ1=2tsinθ2sinθ1\widebar{AD}=\widebar{AC}\,\sin\,θ_1=\frac{2t}{\sin\,θ_2}\,\sin\,θ_1
e dalla legge di Snell: n1sinθ1=n2sinθ2n_1\,\sin\,θ_1=n_2\,\sin\,θ_2
INTERFEROMETRI. Un interferometro principalmente serve a misurare la lunghezza d'onda della radiazione emessa da una sorgente. L'interferometro di Michelson è uno dei tipi più semplici perchè basato sull'interferenza, per divisione di ampiezza, di solo due onde di radiazione.
La radiazione incidente emessa dalla sorgente S viene parzialmente riflessa verso lo specchio M2 e parzialmente trasmessa verso lo specchio M1 dallo specchio semiriflettente M posto a 45° . La differenza di cammino delle due onde, che può essere variata mediante lo specchio mobile M2, è :

Δl=2(d1-d2)Δl=2\left(d_1-d_2\right)
Si osserverà interferenza costruttiva tra i due raggi se Δl= mλ, distruttiva se Δl= (2m+1)λ/2 con m intero.
Regolando d2 ci si pone per vari m nella condizione di interferenza distruttiva e dalla formula del cammino ottico si ricava la lunghezza d'onda (o la velocità se è nota la frequenza)


DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER E DI FRESNEL. Quando la radiazione investe un ostacolo di dimensioni confrontabili con la sua lunghezza d'onda si ha il fenomeno della diffrazione. Sono state formulati due modelli matematici per lo studio della radiazione emergente dopo aver investito l'ostacolo.

Il modello di Fraunhofer
o di campo lontano studia la radiazione emergente a distanza elevata dall'ostacolo, molto più grande delle sue dimensioni.

IL modello di Fresnel
o di campo vicino studia la radiazione emergente subito dopo l'ostacolo a distanze confrontabili con le sue dimensioni.

DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER DA UNA FENDITURA LINEARE. Una sorgente coerente investe una fenditura,  secondo il principio di Huygens, la radiazione nello spazio oltre la fenditura può essere prodotta da sorgenti puntiformi di onde sferiche coerenti poste nella fenditura. Se l'onda incidente è piana, nel campo lontano, l'onda emergente è di nuovo piana.
  • Nel caso a) l'interferenza è costruttiva perché il cammino ottico è uguale. Nello schermo si ha un massimo assoluto di diffrazione.
  • Nel caso b), dividendo la fenditura in due parti, per ogni sorgente nella parte superiore esiste una sorgente nella parte inferiore con la quale l'interferenza è distruttiva perché la differenza di cammino per ogni coppia di sorgenti è λ/2. Nello schermo si ha un minimo di diffrazione.

  • Nel caso c), dividendo la fenditura in tre parti, tra i primi due terzi delle sorgenti l'interferenza è distruttiva, ma tra il primo terzo e l'ultimo terzo l'interferenza è costruttiva perché la differenza di cammino è λ. Nello schermo si ha un massimo relativo di diffrazione.

  • Nel caso d), dividendo la fenditura in quattro parti, tra i primi due quarti l'interferenza è distruttiva, anche tra i secondi due quarti l'interferenza è distruttiva. Nello schermo si ha un minimo di diffrazione.

Per ottenere l'intensità della radiazione, secondo il principio di Huygens, occorre calcolare la somma:

A(l)=A0ei(-ωt+δ)l1lnjeikljA(l)=A_0e^{i\left(-ωt+δ\right)}{\sum_{l_1}^{l_n}}\,_j\,e^{ikl_j}
che rappresenta la sovrapposizione della radiazione prodotta dal tutte le sorgenti elementari entro la fenditura nel modello di Fraunhofer (onde piane monocromatiche). Sostituendo lj con l1+jΔl, considerando l1≃l (distanza centrale della fenditura dalla schermo), osservando che Δl=Δx·sinθ ≃ Δx·θ (da cui jΔl=jΔx·θ=x·θ) e passando agli integrali si ottiene:

A(l,θ)=A0ei(kl-ωt+δ)-a/2+a/2eikxθdxA(l,θ)=A_0e^{i\left(kl-ωt+δ\right)}{\int_{-a/2}^{+a/2}}\,e^{ikxθ}dxda cui, integrando :A(l,θ)=A0ei(kl-ωt+δ)-a/2+a/2eikxθd(ikxθ)(ikθ)=A0ei(kl-ωt+δ)[ei2πλa2θ-e-i2πλa2θi2πλθ]A(l,θ)=A_0e^{i\left(kl-ωt+δ\right)}{\int_{-a/2}^{+a/2}}\,e^{ikxθ}\frac{d\left(ikxθ\right)}{\left(ikθ\right)}=A_0e^{i\left(kl-ωt+δ\right)}\left[\frac{e^{i\frac{2\pi}{λ}\frac{a}{2}θ}-e^{-i\frac{2\pi}{λ}\frac{a}{2}θ}}{i\frac{2\pi}{λ}θ}\right]
si è sostituito il vettore d'onda con la lunghezza d'onda:  k=2πλk=\frac{2\pi}{λ}
Dalla formula di Eulero si ricava: sinα=eiα-e-iα2i\sin\,α=\frac{e^{iα}-e^{-iα}}{2i}Da cui, sostituendo,:A(l,θ)=A0ei(kl-ωt+δ)asin(πaθλ)πaθλ=[A0asin(α)α]ei(kl-ωt+δ)A(l,θ)=A_0e^{i\left(kl-ωt+δ\right)}\,a\,\frac{\sin\left(\frac{\piaθ}{λ}\right)}{\frac{\piaθ}{λ}}=\left[A_0a\,\frac{\sin\left(α\right)}{α}\right]\,e^{i\left(kl-ωt+δ\right)}con α=πaθλα=\frac{\piaθ}{λ}  detto termine di diffrazione. Sullo schermo arriva un'onda piana ma con un'ampiezza che dipende dalla posizione sullo schermo.


L'intensità dell'onda è:

I=[A0asin(α)α]2=A02a2sin2αα2I=\left[A_0a\,\frac{\sin\left(α\right)}{α}\right]^2=A_0^2a^2\,\frac{\sin^2α}{α^2}
La posizione dei  minimi di diffrazione può essere calcolata ponendo :

α=mππaθminλ=mπθmin=mλaα=m\pi⇒\frac{\piaθ_{min}}{λ}=m\pi⇒θ_{min}=m\,\frac{λ}{a}
Possiamo stimare la larghezza del massimo centrale di diffrazione:

Δymax=2θ1L=2λaLΔy_{max}=2\,θ_1\,L=\frac{2λ}{a}\,L









DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER DA UNA FENDITURA CIRCOLARE.
Nel caso di una apertura circolare di diametro D  la sovrapposizione delle onde  onde sferiche puntiformi e coerenti poste nella fenditura produce una figura di diffrazione simile detta "disco di Airy" dal nome dell'astronomo britannico che per primo ricavò la formula che permette il calcolo della semilarghezza angolare del disco centrale luminoso.
Questa è:Δθ=1.22λDΔθ=1.22\,\frac{λ}{D}Il raggio è: R=1.22λLDR=1.22 \frac{λL}{D} 

All'interno del disco centrale è contenuto circa l'84% del flusso luminoso totale.
Rayleigh, sulla base dello studio della diffrazione da una fenditura circolare, ha stabilito che due frange adiacenti arrivano giusto ad essere risolte quando il massimo principale di una coincide con il primo minimo dell'altra. Quindi, perchè due figure di diffrazione prodotte da due sorgenti di estensione finita su uno schermo siano risolvibili, occorre che la loro separazione angolare obbedisca al criterio di Rayleigh  :Δθ=1.22λDΔθ=1.22\,\frac{λ}{D}con D la larghezza









DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER DA DUE FENDITURE LINEARI
Secondo il  principio di sovrapposizione questa diffrazione si può considerare come l'interferenza della radiazione prodotta, mediante diffrazione,  da due fenditure lineari.  Ricordando l'interferenza da due fenditure e la diffrazione da una fenditura si può scrivere:
 A(l,θ)=A0ei(kl-ωt+δ)[1+eikbθ]-a/2+a/2eikxθdxA(l,θ)= A_0e^{i\left(kl-ωt+δ\right)}\left[1+e^{ikbθ}\right]{\int_{-a/2}^{+a/2}}\,e^{ikxθ}dx
con a la larghezza delle fenditure e b la distanza tra le due fenditure.
Integrando: A(l,θ)=A0asinαα[1+eikbθ]ei(kl-ωt+δ)=[A0asinαα(e-ikbθ2+eikbθ2)eikbθ2]ei(kl-ωt+δ)=A(l,θ)=A_0a\, \frac{\sinα}{α}\,\left[1+e^{ikbθ}\right]e^{i\left(kl-ωt+δ\right)}=\left[A_0a\,\frac{\sinα}{α}\,\left(e^{-i\frac{kbθ}{2}}+e^{i\frac{kbθ}{2}}\right)e^{i\frac{kbθ}{2}}\right]e^{i\left(kl-ωt+δ\right)}==(2A0asinααcosβ)ei(kl-ωt+β+δ)=\left(2A_0a\, \frac{\sinα}{α}\,\cosβ\right)e^{i\left(kl-ωt+\beta +δ\right)}con α=πaθλα=\frac{\pi a θ}{λ}β=kbθ2=πbθλβ=\frac{kbθ}{2}=\frac{\pi b θ}{λ}.

DIFFRAZIONE DI FRESNEL. Se si analizza la perturbazione emergente da una fenditura in campo vicino le onde emesse dalle sorgenti secondarie non possono essere più considerate piane ma sferiche. In più, se le onde secondarie fossero davvero sfericamente simmetriche il fronte d'onda primario genererebbe due perturbazioni, una in avanti e una all'indietro: e ciò ovviamente non succede. Per risolvere il problema, Fresnel fece delle assunzioni sulle ampiezze delle onde secondarie. In particolare, l'ampiezza delle onde secondarie deve essere:
  1. proporzionale all'ampiezza di quella parte del fronte d'onda;
  2. proporzionale all'area dell'elemento di fronte d'onda che genera l'onda secondaria;
  3. inversamente proporzionale alla distanza del centro dell'onda secondaria da P (perché sono onde sferiche);
  4. moltiplicata con un  fattore di obliquità   K(θ)=12(1+cosθ)K(θ)=\frac{1}{2}\left(1+\cos\,θ\right) con θ che va da 0 a π.  In questo modo si spiega la non esistenza di un'onda regressiva diretta all'indietro.
LE ZONE DI FRESNEL.  In figura una sorgente puntiforme S emette onde sferiche e vogliamo  calcolare la perturbazione che raggiunge il punto P.  Consideriamo la minima distanza r, da un certo fronte d'onda, a P (ossia OP). Le altre parti del fronte d'onda produrranno in P perturbazioni che non sono in fase con quella prodotta dalla parte più vicina (ossia da O) perché il percorso più lungo dà un diverso cammino ottico. La differenza dei cammini ottici può essere analizzata costruendo una sfera con centro in P e raggio r + nλ/2.
In F1 questa sfera ha raggio r + λ/2 e taglia il fronte d'onda in una circonferenza che ha il segmento SP come asse. All'interno di questa circonferenza la fase delle perturbazioni che arrivano in P varia tra 0 e π.
In F2 la sfera ha raggio r + λ e le perturbazioni che arrivano in P nella corona sferica compresa tra le circonferenze per F1 e F2  hanno fasi che variano tra π e 2π . Possono essere costruite altre corone sferiche o zone in modo che ciascuna produca una radiazione in P la cui fase varia di π. Queste zone sono note come zone di Fresnel. La dimensione di queste zone dipende dalla lunghezza d'onda della luce e dalla distanza dal punto P.
Se  lunghezza d'onda è piccola rispetto alla distanza r, le zone  si possono considerare corone circolari di area:

Aj=π(Rj2-Rj-12)=π{(r+jλ/2)2-r2-[r+(j-1)λ/2]2+r2}=π[r2+j2λ2/4+jλr-r2-(i-1)2λ2/4-(j-1λr)]πλrA_j=\pi\left(R_j^2-R_{j-1}^2\right)=\pi \left\{\left(r+jλ/2\right)^2-r^2-\left[r+\left(j-1\right)λ/2\right]^2+r^2\right\}=\pi\left[r^2+j^2λ^2/4+jλr-r^2-\left(i-1\right)^2λ^2/4-\left(j-1λr\right)\right]≃\pi\,λ\,ravendo trascurato i termini in λ2 rispetto ai termini in λr.
Poiché l'area di ogni zona di Fresnel è la stessa si può assumere che ognuna di esse emetta un uguale numero di onde secondarie, e poiché la distanza di P e anche l'angolo θ (il fattore di obliquità diminuisce) aumentano, man mano che ci allontaniamo dalla zona centrale l'ampiezza in P dovuta alle zone successive diminuisce progressivamente. Per il modo in cui sono state costruite le zone  la radiazione in P derivante da ogni zona è esattamente opposta in fase rispetto a quella delle zone adiacenti ma le ampiezze sono diverse.
Se A1 , A2 , A3, ... sono le ampiezze in P che risultano da successive zone, poiché la fase media dell'oscillazione dovuta a zone adiacenti differisce di π , alle ampiezze pari A2 , A4, ...  si possono dare valori negativi e a quelle dispari A1, A3, ... dei valori positivi. Quindi l'ampiezza totale sarà: A(r,t)=A1-A2+A3-A4+...A(r,t)=A_1-A_2+A_3-A_4+...
Poiché le ampiezze dovute a zone adiacenti, anche se progressivamente decrescenti, sono quasi uguali, possiamo porre:

A2=A1+A32A4=A3+A52...A_2=\frac{A_1+A_3}{2}\qquad A_4=\frac{A_3+A_5}{2}\qquad ...L'ampiezza totale si può scrivere:A(r,t)=A1-A1+A32+A3-A3+A52+...=A1-A12-A32+A3-A32-A52+...=A12A(r,t)=A_1-\frac{A_1+A_3}{2}+A_3-\frac{A_3+A_5}{2}+...=A_1-\frac{A_1}{2}-\frac{A_3}{2}+A_3-\frac{A_3}{2}-\frac{A_5}{2}+...=\frac{A_1}{2}
Quindi se si considera un numero di zone sufficientemente grande, l'ampiezza totale in un punto P dovuta alle onde secondarie emesse da tutti i punti del fronte d'onda è uguale a metà dell'ampiezza dovuta all'onda secondaria emessa dalla sola zona centrale.
Siamo arrivati a questo risultato considerando l'ampiezza e la fase dell'effetto dovuto a ogni zona di semiperiodo presa come un tutto. In  realtà c'è un cambiamento continuo di fase da 0 a π lungo la zona. Per tenerne conto si pensi di dividere la prima zona in N zone minori distinte caratterizzate dalle distanze da P:

r+1Nλ2,r+2Nλ2,r+3Nλ2,......,r+NNλ2,r+\frac{1}{N}\frac{λ}{2},\quadr+\frac{2}{N}\frac{λ}{2},\quadr+\frac{3}{N}\frac{λ}{2},......, r+\frac{N}{N}\frac{λ}{2},\quadIiiii
I contributi di ognuna delle sottozone possono essere sommati vettorialmente come nel diagramma fasoriale di figura dove N= 5. Il fattore di obliquità poi determina una leggera diminuizione graduale delle ampiezze costituenti, che si combinano a formare una specie di spirale.  Se N →∞ si arriva ad una specie di spirale circolare detta curva di vibrazione. Quando si passa da una zona all'altra la spirale compie mezzo giro.  
Il vettore che collega in punto A con il punto C dà il contributo della prima zona, mentre il vettore che collega A con O dà il contributo di tutte le zone. È evidente che AC= AO/2.
DIFFRAZIONE DI FRESNEL DA UNA APERTURA CIRCOLARE. Supponiamo ora di inserire uno schermo opaco in O con un foro circolare di raggio R e perpendicolare a SP. Il numero di zone che sono viste da P è : n=πR2Aj=R2rλn=\frac{\piR^2}{A_j}=\frac{R^2}{rλ}

Se n è un numero pari allora: A(r,t)=A12-An20A(r,t)=\frac{A_1}{2}-\frac{A_n}{2}≃0e se è dispari: A(r,t)=A12+An2A1A(r,t)=\frac{A_1}{2}+\frac{A_n}{2}≃A_1
che corrisponde ad una macchia luminosa. In generale figura di diffrazione su un piano passante per P risulta costituita da una serie di anelli concentrici di intensità luminosa variabile. L'anello centrale diventa chiaro o scuro  ma mano che ci si allontana dall'apertura. Si ottiene un massimo centrale a distanza : rn=R2nλr_n=\frac{R^2}{nλ}
con n un numero dispari.
Se nel punto O invece del foro si colloca un disco o una sfera opachi e piccoli, questi ostruirebbero le prime n zone per cui l'intensità in P è:

A(r,t)=Aj+1-Aj+2+....±AnA(r,t)=A_{j+1}-A_{j+2}+.... ±A_{n}
se n è molto grande A(r,t)≃Aj+1/2. Il disco opaco può ostruire solo una porzione della zona j-esima ma in ogni caso si avrà una piccola macchia luminosa in P in ogni punto dell'asse. Questa è detta macchia di Poisson dal nome dello scienziato che si ostinò a sostenere che un tale fenomeno era assurdo.


DIFFRAZIONE DI FRESNEL DA UNA FENDITURA. I fenomeni di diffrazione  prodotti da fenditure rettilinee si studiano meglio se la sorgente ha la forma di una fenditura molto sottile. In questo caso i fronti d'onda possono essere considerati cilindrici, e l'ampiezza risultante lungo una linea che passa per un punto P parallela alla fenditura può essere trovata dividendo il fronte d'onda in strisce anziché in zone circolari. La costruzione di questi elementi di mezzo periodo è simile a quella delle zone di Fresnel di mezzo periodo. Se r è la distanza di P dal punto più vicino del fronte d'onda, le distanze di P dai bordi esterni dei successivi elementi di semiperiodo sono r + λ /2, r + λ, r + 3λ/2 e così via. Se la lunghezza d'onda è piccola rispetto ad r queste striscie  possono essere considerate piane. La loro area sarà:

Aj=y[(r+jλ2)2-r2-(r+(j-1)λ2)2-r2]yλr(i-i-1)A_j= y\left[\sqrt{\left(r+\frac{jλ}{2}\right)^2-r^2}-\sqrt{\left(r+\frac{(j-1)λ}{2}\right)^2-r^2}\right]≃y\sqrt{λr}\left(\sqrt{i}-\sqrt{i-1}\right)

con y la larghezza della sorgente. Per poter valutare l'intensità luminosa  una linea che passa per un punto P parallela alla fenditura consideriamo per ora il contributo delle striscie con y positivo. Come si vede, essendo uguale la lunghezza di queste strisce, le loro aree a differenza di quelle delle zone di mezzo periodo, diminuiscono rapidamente all'inizio ma più lentamente man mano che la distanza dal centro aumenta, con le strisce più esterne che sono praticamente molto piccole e tutte di uguale area. Tale diminuzione è accentuata anche dall'effetto del fattore di obliquità. Le ampiezze dovute a queste strisce esterne, essendo approssimativamente uguali ma con fasi alternate, si annullano l'un l'altra, e l'effetto di tutto il fronte d'onda è dovuto praticamente solo a pochi elementi centrali. Gli effetti di queste strisce centrali non sono comunque uguali, come nel caso delle zone circolari, che hanno uguali aree.
Se costruiamo un diagramma fasoriale dividendo ogni zona di Fresnel, per esempio in 9 parti, dovremmo tener conto, nel disporre i vettori, della rapida diminuzione della loro ampiezza inizialmente e delle meno rapida diminuzione successivamente. La risultante sarà il vettore |OZ| ma che comprende tutte le zone di Fesnel.

Per rendere esatto questo procedimento occorre aumentare il numero di parti all'infinito. La linea spezzata diventa allora una linea continua detta spirale di Cornu. Nella figura la spirale è doppia perché sono considerate anche le zone di Fresnel per y negativo.


Per calcolare l'ampiezza della radiazione in un punto P appartenente alla retta parallela alla fenditura basta collegare due punti della spirale che corrispondono alle coordinate degli spigoli della fenditura. Se consideriamo un punto posto sull'asse ottico questa ampiezza, man mano che ci si allontana dalla fenditura, è oscillante, fino a quando, molto lontani dalla fenditura, essa tende al limite di Fraunhofer (contributi solo dalla prima zona di Fresnel)

RETICOLO DI DIFFRAZIONE. Il campo di radiazione prodotto da diffrazione in campo lontano da due fenditure sottili è:

A(l,θ)=[A0asinαα(1+eikbθ)]ei(kl-ωt+δ)A(l,θ)=\left[A_0a\,\frac{\sinα}{α}\,\left(1+e^{ikbθ}\right)\right]e^{i\left(kl-ωt+δ\right)}
con α=πaθλα=\frac{\pi a θ}{λ} ,  a è la larghezza della fenditura e b è la separazione tra le fenditure.
Se consideriamo più fenditure si ha: A(l,θ)=[A0asinαα(1+eikbθ+ei2kbθ+ei3kbθ+....ei(n-1)kbθ)]ei(kl-ωt+δ)A(l,θ)=\left[A_0a\,\frac{\sinα}{α}\,\left(1+e^{ikbθ}+e^{i2kbθ}+e^{i3kbθ}+....e^{i\left(n-1\right)kbθ}\right)\right]e^{i\left(kl-ωt+δ\right)} moltiplichiamo con 1-eikbθ1-eikbθ\frac{1-e^{ikbθ}}{1-e^{ikbθ}}:A(l,θ)=[A0asinαα(1+eikbθ+ei2kbθ+...ei(n-1)kbθ)]1-eikbθ1-eikbθei(kl-ωt+δ)=A(l,θ)=\left[A_0a\,\frac{\sinα}{α}\,\left(1+e^{ikbθ}+e^{i2kbθ}+...e^{i\left(n-1\right)kbθ}\right)\right]\frac{1-e^{ikbθ}}{1-e^{ikbθ}}\,e^{i\left(kl-ωt+δ\right)}==[A0asinαα(1+eikbθ+...ei(n-1)kbθ-eikbθ...-ei(n-1)kbθ-einkbθ)1-eikbθ]ei(kl-ωt+δ)==\left[A_0a\,\frac{\sinα}{α}\,\frac{\left(1+e^{ikbθ}+...e^{i\left(n-1\right)kbθ}-e^{ikbθ}...-e^{i\left(n-1\right)kbθ}-e^{inkbθ}\right)}{1-e^{ikbθ}}\right]\,e^{i\left(kl-ωt+δ\right)}==[A0asinαα(1-einkbθ)1-eikbθ]ei(kl-ωt+δ)=\left[A_0a\,\frac{\sinα}{α}\,\frac{\left(1-e^{inkbθ}\right)}{1-e^{ikbθ}}\right]\,e^{i\left(kl-ωt+δ\right)}

Osservando che: (1-eiα)=(e-iα2-eiα2)eiα2\left(1-e^{iα}\right)=\left(e^{-i\frac{α}{2}}-e^{i\frac{α}{2}}\right)e^{i\frac{α}{2}} e  che sinα=eiα-e-iα2i\sin\,α=\frac{e^{iα}-e^{-iα}}{2i} , sostituendo si ha:

A=A0asinαα(e-inkbθ2-einkbθ2)einkbθ2(e-ikbθ2-eikbθ2)eikbθ2ei(kl-ωt+δ)=A=A_0a\,\frac{\sinα}{α}\,\frac{\left(e^{-i\frac{nkbθ}{2}}-e^{i\frac{nkbθ}{2}}\right)e^{i{\frac{nkbθ}{2}}}}{\left(e^{-i\frac{kbθ}{2}}-e^{i\frac{kbθ}{2}}\right)e^{i{\frac{kbθ}{2}}}}\,e^{i\left(kl-ωt+δ\right)}==[A0asinααsinnkbθ/2sinkbθ/2]ei[kl-ωt+δ+(n-1)kbθ/2]=[A0asinααsinnβsinβ]ei[kl-ωt+δ+(n-1)β]=\left[A_0a\,\frac{\sinα}{α}\,\frac{\sin\,{nkbθ/2}}{\sin\,{kbθ/2}}\right]e^{i\left[kl-ωt+δ+(n-1)kbθ/2\right]}=\left[A_0a\,\frac{\sinα}{α}\,\frac{\sin\,{nβ}}{\sin\,{β}}\right]e^{i\left[kl-ωt+δ+(n-1)β\right]}
avendo posto β=kbθ/2=2πλbθ2=πbθλβ=kbθ/2=\frac{2\pi}{λ}\frac{bθ}{2}=\frac{\pibθ}{λ}.

L'intensità della radiazione è proporzionale al quadrato dell'ampiezza:

I=I0sin2αα2sin2nβsin2βI=I_0\,\frac{\sin^2α}{α^2}\,\frac{\sin^2\,{nβ}}{\sin^2\,{β}}
Nel punto P0 , cioè quando θ→0 (β→0 e α→0), l'intensità luminosa dovuta a tutte le fenditure   è uguale a: I=I0limα0sin2αα2limβ0sin2nβsin2βn2I0limα0sin2αα2limβ0sin2nβn2β2=n2I0I=I_0\,\lim_{α→0}\frac{\sin^2α}{α^2}\,\lim_{β→0}\frac{\sin^2\,{nβ}}{\sin^2\,{β}}≃n^2I_0\,\lim_{α→0}\frac{\sin^2α}{α^2}\,\lim_{β→0}\frac{\sin^2\,{nβ}}{n^2β^2}=n^2I_0
con I0 l'intensità luminosa dovuta ad una fenditura.
Se n è molto grande allora a (larghezza della fenditura) è molto piccolo e α→0 e la posizione dei massimi principali si hanno dove:

sin2nβsin2β=n2sin(nβ)sinβ=n\frac{\sin^2\,nβ}{\sin^2β}=n^2⇒\frac{\sin\left(nβ\right)}{\sin\,β}=ncioè dove β=0,±π,±2π,....,±mπβ=0, ±\pi, ±2\pi, ....,±m\pi  o, sostituendo β, : θmaxmλbθ_{max}≃m\frac{λ}{bo, con meno approssimazione, :sinθmax=mλb\sin\,θ_{max}=m\,\frac{λ}{b}
Per i minimi bisogna imporre che :sin(nβ)sinβ=0\frac{\sin\left(nβ\right)}{\sin\,β}=0 da cui  β=±πn,±2πn,....,±mπnβ=±\frac{\pi}{n}, ±\frac{2\pi}{n}, ....,±\frac{m\pi}{n} .
Non tutti gli m produrranno minimi: i valori di β=0,±nπn,±2nπn,....,±mnπn=0,±π,±2π,....,±mπβ=0, ±\frac{n\pi}{n}, ±\frac{2n\pi}{n}, ....,±\frac{mn\pi}{n}= 0, ±\pi, ±2\pi, ....,±m\pi corrispondono a massimi secondari.

La posizione dei massimi dipende dalla lunghezza d'onda e se la radiazione incidente non è monocromatica è possibile separarne le componenti. Il sistema di fenditure è detto reticolo di diffrazione.

Gli spettroscopi che, per disperdere le componenti della radiazione incidente usano un reticolo (per trasmissione o riflessione), sono gli spettroscopi a reticolo.

 Si può assumere come larghezza del massimo principale la separazione dei due minimi adiacenti: Δβ=πn-(-πn)=2πnΔβ=\frac{\pi}{n}-\left(-\frac{\pi}{n}\right)=\frac{2\pi}{n
Ma β=πbλsinθβ=\frac{\pib}{λ}\,\sin\,θ per cui, derivando,   ΔβΔθ=πbλcosθπbλ\frac{Δβ}{Δθ}=\frac{\pib}{λ}cosθ≃\frac{\pib}{λ} si può ricavare la larghezza angolare della riga spettrale principale:

Δθ=2λnbΔθ=\frac{2λ}{nb}
( Δθ1/2=λnbΔθ_{1/2}=\frac{λ}{nb} è la semilarghezza). Questa  relazione è nota anche come allargamento strumentale.
Derivando l'equazione che genera le posizioni angolari dei massimi principali:

ΔθΔλ=mbcos(θmax)mb\frac{Δθ}{Δλ}=\frac{m}{b \,\cos\left(θ_{max}\right)}≃\frac{m}{b}
si ottiene la dispersione angolare (o potere risolutivo)  del reticolo.