PROBLEMI DI MECCANICA CLASSICA


  1. Una pompa spinge 6 litri d'acqua al minuto dentro un recipiente la cui forma è quella riportata in figura. Il recipiente ha una base quadrata di lato 20 cm. Procedendo verso l'alto la sezione diventa rettangolare: un lato resta 20 cm, l'altro aumenta fino ad arrivare a 60 cm, quando l'altezza è a 100 cm. A causa dell'allargarsi della sezione, la velocità di salita dell'acqua non è costante, ma diminuisce man mano che l'acqua sale. Indica con s l'altezza (variabile) dell'acqua.

    1. Determina la relazione tra s e la velocità v di salita dell'acqua
Il livello s dell'acqua cresce in funzione del tempo secondo la legge: s=501+0.01t-1s=50\;\sqrt{1+0.01\cdot t}-1 con s espresso in cm e t in secondi.
  1.  Determina quanto tempo impiega il recipiente a riempirsi.
  2. Disegna il grafico spazio-tempo


  1. Tutte le reazioni chimiche, organiche e inorganiche, procedono con una certa velocità, legata alla temperatura: più alta è la temperatura, maggiore è la velocità di reazione. Questo fenomeno può essere interpretato in termini di movimento delle molecole, che, al crescere della temperatura, aumentano la loro energia e urtano più frequentemente contro le altre molecole. Nel caso delle reazioni organiche, il risultato è che i processi metabolici avvengono a una velocità maggiore all'aumentare della temperatura.
    L'aumento o la diminuzione della velocità di un processo metabolico si può manifestare in vari modi. Ad esempio, un grillo che vuole attrarre una compagna frinisce con una velocità  che dipende soprattutto dalla velocità del suo metabolismo; di conseguenza, la velocità con cui il grillo emette il suo verso (il tipico cri-cri) dipende direttamente dalla temperatura, tanto che alcuni popoli usano addirittura i grilli domestici come termometro.
    Il grillo più preciso come termometro è il grillo degli alberi innevati (Oecanthus fultoni); la velocità del suo frinìo è descritta dalla formula N= T - 40 dove N è il numero di frinìi emessi ogni 13 sec e T è la temperatura espressa in gradi Fahrenheit.
    1. Quale linea del grafico rappresenta la velocità del frinìo del grillo degli alberi innevati ?
    2. Se la temperatura è di 43 °F, quanto tempo impiega il grillo per frinire 12 volte ?
    3. Il tuo grillo domestico frinisce 112 volte in un minuto. Qual'è la temperatura in gradi Fahreneith ?

Il tuo grillo è un buon saltatore, con tre salti fa 2 m e ogni salto è alto 50 cm.
    1. Quanto dura un salto ?
    2. Con quale velocità orizzontale  salta il grillo  ?
    3. Quanto tempo occorre per fare 50 m ?

In figura a destra è illustrato un volo del tuo grillo  (non il salto !).

  1. Qual'è la sua velocità massima ?
  2. Qual'è la sua velocità minima ?


  1. ALLUNAGGI. La prima parola pronunciata sulla superficie della Luna dopo l’allunaggio dell’Apollo 15, il 30 luglio 1971, fu “Bam!”, come reazione involontaria di James Irwin al brusco impatto. «È stata la botta peggiore che abbia mai preso in tutti i miei voli» disse Irwin «Ed ero talmente sbalordito, ovviamente, che ho detto Bam!» La ragione del brusco allunaggio dell’Apollo 15, come spiegò in seguito il pilota David Scott, fu che il motore del razzo venne spento prima del previsto, quando il modulo si trovava a 4,30 piedi sopra la superficie lunare, da quel punto in poi il modulo iniziò una caduta libera lunare. Di conseguenza, la velocità di allunaggio dell’Apollo 15 fu la più alta fra quelle di tutte le missioni Apollo. Ad esempio, la velocità di allunaggio di Neil Armstrong sull’Apollo 11 fu la più bassa (1,7 piedi/s) – in quel caso non fu spento il motore fino a che il modulo non era già praticamente sulla superficie. I moduli di Apollo 12, 14 e 17 sono tutti atterrati con velocità compresa fra i 3,0 e i 3,5 piedi/s. Per chiarire meglio la discesa dell’Apollo 15, nella figura a è mostrata la sua traiettoria durante le fasi finali dell’allunaggio. Nella figura b sono riportati alcuni grafici della velocità in funzione del tempo.
    1. Quanto tempo ha impiegato il modulo lunare a percorrere gli ultimi 4.6 piedi verso la superficie lunare ? ( R : 1.8 s)
    2. Qual'è stata la velocità d'impatto, in piedi al secondo, del modulo lunare nel momento dell'allunaggio ? ( R : 5 piedi/s)
    3. Quale dei grafici velocità/tempo della figura b rappresenta correttamente la velocità del modulo dell'Apollo 15 ? Perchè ? ( R: Grafico A)
    4. Qual'è stata la velocità media dell'Apollo 15 in tutta la fase dell'allunaggio ? ( R: 2.56 piedi/s)
    5. Dopo quanto tempo sarebbe allunato l'Apollo 15 se la procedura di allunaggio fosse stata come quella dell'Apollo 11  ? ( R:  16.1 s)
    6. Dall'esame del grafico a) sapresti stimare l'accelerazione di caduta libera lunare ? ( R: 4.1 piedi/s²)
    7. Supponi che, invece di spegnere i motori, gli astronauti avessero aumentato la spinta, fornendo al modulo una piccola, ma costante accelerazione verso l'alto. Quale dei grafici velocità-tempo della figura b) rappresenterebbe correttamente questa situazione ? ( R: Grafico C)
    8. Un piede corrisponde a circa 30.5 cm. Con quale velocità, in km/h, l'Apollo 11 e 15  sono allunati ? ( R: 1.9 km/h e 5.5 km/h)
    9. La sonda Schiapparelli il 19 ottobre 2016 si  è schiantata sul suolo di Marte alla velocità di 300 km/h cadendo da un'altezza di circa 3 km. Considerando che Marte ha una g= 3.7 m/s² qual'era la velocità inziale nel momento in cui i retrorazzi si sono spenti (prima del previsto ) ? ( R )

  1. FRENARE. Ogni anno in Italia si registrano più di 200000 incidenti stradali, per un totale di oltre 300000 feriti e più di 4500 vittime. Il 35% degli incidenti è causato da guida distratta, eccesso di velocità e mancato rispetto della distanza di sicurezza. Si stima che, da quando vede un ostacolo un conducente impiega 1 s prima di iniziare a frenare e percorre uno spazio detto spazio di reazione Δsr. Se l'ostacolo dista meno di  Δsr metri dall'auto, l'automobilista non ha neppure il tempo per iniziare a frenare e urta contro l'ostacolo con la velocità che possiede. Lo spazio di frenata è invece la distanza che un veicolo percorre fra l'inizio della decelerazione e l'arresto. La distanza di sicurezza è la distanza che un veicolo deve mantenere da quello che lo precede per potersi arrestare senza urtarlo. È evidente che la distanza di sicurezza deve essere maggiore o uguale alla somma dello spazio di reazione e dello spazio di frenata.
    1. Qual'è lo spazio di reazione a 90 km/h ?( R: 25 m )
    1. Nell'ipotesi abbastanza realistica che la decelerazione prodotta dai freni sia costante e sia, per un certo autoveicolo e con un sistema antibloccaggio (ABS) circa 7 m/s²,  qual'è la distanza di sicurezza a 90 km/h ? ( R: 70 m )
    Supponi che invece che in un'automobile, che viaggia a 90 km /h, l'autista perde il controllo, sbanda e l'auto si schianta contro un albero senza aver avuto il tempo di frenare. L'automobile si deforma di circa un metro e questo è il piccolo spazio che ha per decelerare da 90 km /h a zero.

    1. Quanto è stata la decelerazione che ha subito l'auto ? ( R: -312.5 m/s²)

I passeggeri seduti nei sedili posteriori dell'auto viaggiano anch'essi a 90 km/h e si fermeranno nello schianto. Se i passeggeri sono attaccati ai sedili dell'auto tramite le cinture di sicurezza, allora subiranno la stessa decelerazione dell'auto. Ma se i passeggeri non sono attaccati ai sedili dell'auto tramite le cinture, durante lo schianto continueranno a muoversi a 90 km/h fino a urtare lo schienale del sedile anteriore e si fermeranno nello spazio della deformazione dei sedili e del loro corpo, in circa 15 cm.
  1. Determina anche in questo caso il valore della decelerazione.( R: -2083 m/s²)
  2. Da che  altezza dovrebbe cadere un uomo per arrivare a terra con una velocità di 90 km /h ? Quanto tempo durerebbe la caduta ? ( R: 32 m; 2.56 s)
Nel grafico di figura è mostrata la temperatura dei dischi anteriori di un autoveicolo e del liquido dei freni nel caso di frenate dolci e continue e nel caso di frenate brusche e brevi. Devi sapere che l'efficienza dei freni è inversamente proporzionale alla temperatura.
  1. Con quale velocità media ( in °C/min) aumenta la temperatura dei dischi nel caso di frenate brusche e brevi e nel caso di frenate dolci e continue  nei primi 21 min ? ( R: 17.6 °C/min; 30 °C/min)
  2. Secondo te perchè da 21 min in poi di frenata, le temperature dei dischi, nel caso di frenate dolci e continue, cominciano a diminuire e invece nel caso di frenate brusche e brevi rimangono quasi costanti ? ( R)
  1. VELOCISTI. Si schematizza la corsa di un atleta, su una lunghezza totale L, in questo modo: in un primo tratto lungo L0  l'atleta si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione a e per il resto del percorso (pari a L - L0 ) di moto uniforme alla velocità v raggiunta nel primo tratto. Nella corsa di un centometrista si può assumere che l'accelerazione duri per metà del percorso, quindi L0= L/2. Nel 2012 Usain Bolt percorse i 100 metri in 9.63 s stabilendo il record olimpico e in figura c'è un grafico in cui è riportata la velocità di Bolt in funzione della distanza. Per Bolt calcola:

    1. La sua velocità media in m/s e km/h in tutto il percorso; ( R: 37.4 km/h)
    2. La sua velocità media in m/s e km/h negli ultimi 50 m del percorso; ( R: 43.7 km/h)
    3. L'accelerazione nei primi 50 m del percorso; ( R: 1.37 m/s²)
    4. La durata della fase di accelerazione e la fase in cui la velocità è costante; ( R: 8.6 s; 1.08 s)

    Nella gara della staffetta 4x100 gli atleti (escluso il primo) e ffettuano una partenza lanciata" muovendosi 20 m prima del traguardo delle frazioni lunghe 100 m che chiameremo linea di cambio; questa linea è al centro della zona di cambio ( ±10 m, come mostrato in fi gura), che è il tratto di pista entro cui il testimone deve essere passato di mano in mano tra i corridori. Supporremo adesso che la prima frazione di 100 m sia percorsa da Bolt (anche se in realtà lui percorre l'ultima)   nello stesso modo detto sopra e che gli altri tre corridori siano tutti in grado di correre come Bolt. Come vedi dal grafico dopo i primi 20 m un corridore come Bolt ha una velocità di 6.83 m/s, e osserva che tutti gli altri corridori, dopo il primo, devono in realtà percorrere 120 m prima di passare il testimone:

    1. Quanto tempo occorre per percorrere 120 m ? ( R: 11.28 s)
    2. Quanto tempo occorre per percorrere i primi 20 m ? ( R: 5.86 s)
    3. In quanto tempo sarebbero percorsi i 400 m, supponendo che ogni passaggio del testimone avvenga sulla linea di cambio, cioè esattamente ogni 100 m ? ( R: 26 s)
    4. Nel momento in cui il secondo corridore scatta dal punto indicato, a che distanza da lui si trova il primo atleta in arrivo? ( R: 60 m)


  1. TERREMOTI. Quando avviene un terremoto l'energia accumulata dalle rocce si libera in parte sotto forma di onde sismiche che si propagano all'interno della terra. I due tipi principali sono: le Onde P (o Primarie) che sono le più veloci. Esse si propagano come le onde sonore nell'aria. Sono infatti anche dette "longitudinali" perché fanno oscillare le particelle di roccia che attraversano parallelamente alla loro direzione di propagazione. In sostanza, al loro passaggio, le rocce si comprimono e si dilatano continuamente. Le Onde S (o Secondarie) viaggiano più lentamente delle "P". L'oscillazione delle particelle di roccia che attraversano avviene trasversalmente rispetto alla loro direzione di propagazione.
    È avvenuto un terremoto e un amico ti racconta di aver avvertito due scosse di terremoto. Sono state forti e addirittura la campana del campanile del suo paese è caduta a terra.  Consultando il sito dell'Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia, ha però verificato che era stata registrata una sola scossa. Lui rimane dubbioso perchè ricorda bene di avere sentito la casa scuotersi due volte, con il secondo evento a distanza di circa sei secondi.
       
    1. Nella zona in cui abitate le onde P si propagano alla velocità media di 2.7 km/s, mentre quelle S si spostano alla velocità media 1.9 km/s. A partire dal racconto del tuo amico, sapresti valutare la distanza tra il punto in cui è avvenuto il terremoto e la casa del tuo amico ? ( R: 38.5 km)
    2. valuta  in quanto tempo e con velocità la campana del campanile del paese del tuo amico è caduta a terra se il campanile era alto 15 m.  ( R: 1.8 s; 17 m/s)



In figura a destra è riportato l'andamento temporale di un'onda S e un'onda P di un altro terremoto. Si vede che, rigorosamente, il modo non è uniforme ma piuttosto sembra uniformemente accelerato.
Dall'esame dei grafici:
  1. valuta le velocità medie delle onde P e delle onde S in questo terremoto ( R: 0.78 km/s; 0.43 km/s)
  2. valuta le velocità istantanee in due istanti di tempo, sia per le onde P che per le onde S; ( R)
  3. con le velocità calcolate nel punto precedente valuta le accelerazioni medie delle onde P e delle onde S; ( R: 0.055 km/s²; 0.018 km/s²)
  4. con in dati in tuo possesso valuta l'intervallo di tempo tra le onde S e le onde P a 20 km di distanza dell'epicentro; ( R: 20 s)
  5. procedendo a tentativi sapresti valutare la distanza dall'epicentro del sismografo che ha registrato l'arrivo delle onde P ed S nella figura in alto ? (R: circa 3000 km)
  1. DALLA TERRA ALLA LUNA. Nel suo romanzo Dalla Terra alla Luna (1866), Jules Verne descrive un'astronave, chiamata Columbiad, che viene lanciata da un cannone con una velocità di 16.5 km/s . La Columbiad è lunga 274 m, ma i primi 61 m sono pieni di polvere da sparo e, dopo l'esplosione, la navicella accelera, con accelerazione costante, per una distanza di soli 213 m dentro il cannone, raggiungendo in uscita, appunto, la velocità di 16.5 km/s. Dopo comincia a decelerare a causa della perdita della spinta per la gravità e a causa dell'attrito con l'atmosfera e, quando raggiunge, i limiti dell'atmosfera terreste la sua velocità è 11 km/s, sufficiente per raggiungere la Luna.

    1. Quanto vale l'accelerazione, in m/s², della Columbiad all'uscita del cannone ?

    Verne ipotizzò che i viaggiatori avrebbero subito un violento rinculo, ma probabilmente non sapeva che gli esseri umani perdono conoscenza se subiscono accelerazioni più grandi di 7g.

    1.  Secondo te nella Columbiad i passeggeri avrebbero perso conoscenza ?

    2. L'atmosfera terrestre è spessa circa 10000 km. Puoi stimare, supposta costante, la decelerazione che subisce la Columbiad quando la attraversa ? E in quanto tempo la attraversa ?

    3. La Luna dista dalla Terra circa 384000 km. Quanto dura il viaggio verso la Luna se si suppone che  il moto della Columbiad, una volta fuori l'atmosfera, possa essere considerato uniforme ?

    La missione dell'Apollo 8 fu paragonata al viaggio della Columbiad; il viaggio fu quasi dello stesso tipo e anche le astronavi erano molto simili. La principale differenza era che quello dell'Apollo 8 fu un accadde veramente mentre il viaggio della Columbiad fu solo immaginato (ma 100 anni prima !). L'Apollo 8 possedeva una velocità di traversata Terra-Luna di circa 1200 m/s e fece 2 orbite di parcheggio  attorno la Terra appena fuori l'atmosfera e 10 orbite attorno la Luna a circa 100 km dalla sua superficie.

    1. Se supponi che la velocità dell'Apollo 8 possa essere considerata costante, sapendo che il raggio della Terra è circa 6400 km e quello della Luna è circa 1700 km, sai stimare una durata totale, in ore e minuti, del viaggio dell'Apollo 8 ?