PROBLEMI SULLE CONICHE IN GENERALE


Considera la retta r di equazione x + 2y - 5 = 0, scrivi l'equazione della circonferenza γ₁ avente centro nell'origine e tangente alla retta r; scrivi l'equazione dell'ellisse γ₂ avente centro in C(2;0), i fuochi sull'asse x e tangente alla retta r nel suo punto P di ascissa 3; determina la misura della corda che γ₁ e γ₂ hanno in comune.
Scrivere l’equazione dell’ellisse di vertici (±6;0) e fuochi (±4;0) e l’equazione della parabola $y = m x^{2} + nx + c$ passante per i fuochi dell’ellisse e tangente alla retta $y = 2 \sqrt{5}$ . Trovare le intersezioni delle due curve. Trovare l’area della parte di piano nel primo quadrante compresa fra parabola ed ellisse.
Determina le rette passanti per l'origine e aventi distanza uguale a 1 dal punto $F (\sqrt{5}; 0)$ . Scrivi quindi l'equazione dell'iperbole avente come asintoti tali rette e un fuoco in F. Determina il punto P dell'iperbole, appartenente al primo quadrante, tale che, condotta da P la tangente t all'iperbole, la circonferenza γ₁ avente centro dell'origine e tangente a t abbia raggio 4/3. Determina infine l'area compresa fra γ₁ e la circonferenza γ₂ avente centro l'origine e passante per i vertici dell'iperbole.
Considera il rettangolo ABCD di vertici A(0;0), B(4;0), C(4;2), D(0;2), determina l'equazione della circonferenza circoscritta ad ABCD; determina l'equazione dell'ellisse, con assi paralleli agli assi cartesiani, inscritta nel rettangolo ABCD; determina la retta r tangente alla circonferenza in D; determina la parabola con asse parallelo all'asse delle ascisse tangente in D alla retta r e passante per A
Determinare l’iperbole equilatera di equazione $y = \frac{x + b}{cx + d}$ sapendo che essa passa per i punti A(-1;-2), B(-3;1), C(3;2). Determinare le equazioni degli asintoti e l’equazione della circonferenza avente come centro l’intersezione degli asintoti e passante per il punto di intersezione dell’iperbole con l’asse delle ordinate.
Considera l'ellisse di equazione $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ . Indica con A il vertice dell'ellisse avente ascissa positiva e con B il vertice dell'ellisse avente ordinata positiva. Scrivi l'equazione della parabola che passa per A e B, avente come asse la retta di equazione x=9/4. Determina l'area della regione di piano limitata dall'arco AB di ellisse contenuto nel primo quadrante e dall'arco AB di parabola.
È data l’ellisse di equazione $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ; trovare l’equazione della parabola avente per asse l’asse delle y, che incontri l’ellisse nel suo punto di intersezione col semiasse negativo delle y, e che passi per i fuochi F₁ ed F₂ dell’elisse. Trovare, inoltre, le equazioni delle rette r₁ ed r₂ tangenti alla parabola in F₁ ed F₂ e le tangenti all’ellisse passanti per il punto comune a r₁ e r₂.
Data la parabola di equazione $y = x^{2} - 10 x + 16$ che incontra in A e B l’asse x, determinare : l'equazione della circonferenza passante per A e per B, tangente all'asse y e avente il centro C nel 1° quadrante; le coordinate del punto P della parabola in cui la tangente è parallela alla retta y=2x; la misura dell'area del quadrilatero APBC.
Determina l'equazione della circonferenza che ha centro nell'origine e raggio uguale a $2 \sqrt{5}$ e quella dell'ellisse riferita ai propri assi che ha un fuoco nel punto F(3;0) e che passa per il punto $P (2; \frac{4}{5} \sqrt{21})$ Trova le coordinate dei punti di intersezione tra le due curve. Calcola l'area del quadrilatero formato dai punti trovati
Considera la retta di equazione x + 2y + 4 = 0 e sia C il suo punto di intersezione con l'asse delle ascisse. Scrivi l'equazione della circonferenza avente il centro C e raggio $4 \sqrt{2}$ Traccia le tangenti r e s alla circonferenza nei punti A e B (y_A < y_B) di intersezione con l'asse delle ordinate. Sia D il punto comune a r e s. Scrivi l'equazione della parabola passante per A, B e D. Calcola l'area della parte di piano racchiusa dalla circonferenza e dalla parabola situata nel semipiano delle ascisse positive.