QUESITI CON LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE


Dimostrare che la derivata, rispetto a x, della funzione a^x, dove a è un numero reale positivo diverso da 1, è a^x·ln(a).
Dimostrare, avvalendosi della definizione di derivata come limite del rapporto incrementale al tendere a zero dell'incremento della variabile indipendente, che la derivata della funzione f(x)= sin²(x) è la funzione f'(x)= sin(2x).
Si consideri la funzione $f (x) = \frac{x + \sin (x)}{x - \cos (x)}$ . Calcolare il limite per x → +∞ e spiegare perchè il calcolo non può essere effettuato ricorrendo al teorema di De L'Hopital.
Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali (x,y) è assegnata la funzione: $f (x) = \frac{a + b \cdot \ln (x)}{x}$ si trovino i valori di a e b per i quali il grafico della funzione passa per i punti (1/e; 0) e (e²; 3/e²).
Utilizzando il teorema di Rolle, provare che tra due radici reali di e^x·sin(x) = 1 c'è almeno una radice reale di e^x·cos(x) = -1
Applicando il Teorema di Lagrange nell'intervallo di estremi 1 e x, provare che $1 - \frac{1}{x} < \ln (x) < x - 1$
Sia f(x) una funzione continua nell'intervallo chiuso [-1; 1]; indicati rispettivamente con m e M il minimo e il massimo di f(x) nell'intervallo assegnato, dimostrare le disuaglianze: $2 m \leq \int_{- 1}^{+ 1} f (x) ⅆ x \leq 2 M$
Calcolare la derivata, rispetto a x, della funzione f(x) tale che: $f (x) = \int_{x}^{x + 1} \ln (t) ⅆ t$ .
Dimostrare che: $\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} \sin (t^{3}) ⅆ t}{x^{4}} = \frac{1}{4}$
Sia f(x)= 3^x. Per quale valore di x la pendenza della retta tangente alla curva nel punto (x; f(x)) è uguale a 1 ?
Sia f la funzione definita sull'insieme R dei numeri reali da : $f (x) = x + \ln (4) + \frac{2}{e^{x} + 1}$ . Trovare il punto A centro di simmetria della curva che la rappresenta.
Si dimostri che la curva di equazione y= x³ + ax + b ha uno e un solo punto di flesso rispetto a cui è simmetrica.
Siano f e g le funzioni definite da f(x)= e^x e g(x)= ln(x). Calcolare l'area della regione R che essi delimitano tra x= 1/2 e x= 1.
Qual'è il punto della curva y= √x più vicino al punto di coordinate (4; 0 ) ?
Sia R la regione delimitata, per x ∈ [0 ; π], dalla curva y= sin(x) e dall'asse x e sia W il solido ottenuto dalla rotazione completa di R attorno all'asse y. Si calcoli il volume di W.
Qual'è il valore medio di f(x) = 1/x da x= 1 a x= e ?
La regione R è la base di un solido W le cui sezioni, ottenute tagliando W con piani perpendicolari all'asse x, hanno, per ogni 0 ≤ x ≤ 3, area S(x)= e^5-3x. Si determini il volume di W.
Sia f la funzione definita sull'insieme R dei numeri reali da: f⁡(x)=(ax+b)e^-x/3 +3 , dove a e b sono due nuneri reali. Determinare a e b sapendo che f ammette un massimo nel punto di ascissa 4 e che f(0)= 2.
Si consideri la regione R delimitata da y= √x, dall'asse x e dalla retta x= 4. Determinare il volume V del solido generato da R nella rotazione attorno all'asse y.
Sia r la retta d'equazione y= mx tangente al grafico di y= e^x. Determinare l'angolo che la retta r forma con il semiasse positivo delle ascisse.