QUESITI CON LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE

Si calcoli il valor medio della funzione $f(x)=e^x\cdot \left(x^2+x+1\right)$ nell'intervallo 0 ≤ x ≤ 1.
Fra tutte le primitive di $f(x)=3\cdot {\cos }^3(x)$ trovare quella il cui grafico passa per il punto (0; 5).
Si determinino le costanti a e b in modo che la funzione $F(x)={a\cdot \sin }^3(x)+b\cdot \sin (x)+2x$ sia una primitiva della funzione $f(x)={\cos }^3(x)-3\cdot \cos (x)+2$
Trovare f(4) sapendo che ${\int }_0^{x}f(t)dt=x\cdot \cos \left(\pi x\right)$
Si trovi l'area della regione delimitata dalla curva y= cos(x) e dall'asse x da x=1 a x= 2 radianti.
La regione del piano racchiusa tra il grafico della funzione y= ln(x) e l'asse x, con 1 ≤ x ≤ e, è la base di un solido V le cui sezioni, ottenute tagliando V con piani perpendicolari all'asse x, sono tutte rettangoli aventi l'altezza tripla della base. Si calcoli il volume di V.
La regione finita di piano delimitata dalla curva di equazione $f(x)=e^{x/2}\cdot (x+1)$ e dall'asse x nell'intervallo 0 ≤ x ≤ 1 è la base di un solido V le cui sezioni sono esagoni regolari. Si calcoli il volume di V.
Si calcoli il valor medio della funzione f(x)= |1 - x²| nell'intervallo -2 ≤ x ≤ 3.
Si calcoli il valor medio della funzione f(x)= sin³(x) nell'intervallo 0 ≤ x ≤ π.
Si determini il polinomio P(x) di terzo grado tale che: P(0) = P'(0)= 0, P(1)= 0 e ${\int }_0^{1}P(x)dx=\frac{1}{12}$
Siano: 0 < a < b e x ∈ [-b; b]. Si provi che: ${\int }_{-b}^b\left|x-a\right|dx=a^2+b^{2 }$
Qual'è il flesso della funzione $f(x)=e^x-x^2$ ?
La funzione f(x)= a·sin(x) + b·cos(x) ha un estremo relativo per x= 4π/3 ed è f(2π/3) = 1. Si trovino a e b.
Qual'è il cono di volume massimo inscrivibile in una sfera assegnata ?
Qual'è il cilindro di volume massimo inscrivibile in una sfera assegnata ?
Fra tutti i coni circoscritti ad una data sfera , trovare quello di volume minimo.
Un prisma a base quadrata ha altezza x e spigolo di base y tali che x + y = 3. Qual'è il suo volume massimo ?
Si dimostri che fra tutti i rettangoli di dato perimetro, quello di area massima è un quadrato.
Tra i triangoli di base assegnata e di uguale area, dimostrare che quello isoscele ha perimetro minimo.
Si determini il punto della parabola 4y= x² più vicino al punto di coordinate (6; -3)