Blocchi, fili e carrucole

Due blocchi sono collegati attraverso una carrucola. Determina l'accelerazione dei due blocchi e la tensione del filo. Le equazioni di Newton applicate ai due blocchi sono: ${\begin{matrix} M : & M g - F_{t} = M a \\ m : & F_{t} - m g = m a \end{matrix}$ (si suppone che M cada ed m salga) Sommando la prima con la seconda: $M g - F_{t} + F_{t} - m g = M a + m a \to M g - m g = (M + m) a \to a = \frac{M - m}{M + m} g$ La tensione del filo: $F_{t} = m a + m g = m \cdot \frac{M - m}{M + m} g + m g = \frac{M - m + M + m}{M + m} \cdot m g = \frac{2 M m}{M + m \cdot} g$



Due blocchi sono collegati attraverso una carrucola mobile ed una fissa (paranco semplice) . Determina l'accelerazione dei due blocchi e la tensione del filo. Si deve osservare che il blocco della carrucola fissa fa, nello stesso tempo, uno spazio doppio del blocco appeso alla carrucola mobile. Lo stesso rapporto avranno le accelerazioni. Le equazioni di Newton applicate ai due blocchi sono:
	${\begin{matrix} M : & M g - F_{t 2} = M a_{2} \\ m : & F_{t 1} - m g = m a_{1} \end{matrix}$ Si è osservato che: a₁= 2·a₂ Inoltre sulla carrucola mobile, se la considera senza massa: F_t2= 2·F_t1. Da cui sostituendo: ${\begin{matrix} M : & M g - 2 F_{t 1} = M a_{2} \\ m : & F_{t 1} - m g = m \cdot 2 a_{2} \end{matrix}$ Sommando la prima e il doppio della seconda equazione si ricava l'accelerazione a₂: $M g - 2 F_{t 1} + {2 F}_{t 1} - 2 m g = M a_{2} + 4 m a_{2} \to$ $\to M g - 2 m g = (M + 4 m) \cdot a_{2} \to a_{2} = \frac{M - 2 m}{M + 4 m} \cdot g$
Da cui infine le tensioni: $F_{t 1} = m g + 2 m a_{2} = m g + 2 m \cdot \frac{M - 2 m}{M + 4 m} \cdot g = \frac{M + 4 m + 2 M - 4 m}{M + 4 m} \cdot m g = \frac{3 M m}{M + 4 m} \cdot g$