CONSEGUENZE DELLE TdL

LE CONSEGUENZE DELLE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ

Tre sono le conseguenze delle TdL:

LA DILATAZIONE TEMPORALE
LA CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE
LA NON SIMULTANEITÀ DEGLI EVENTI

1. LA DILATAZIONE TEMPORALE

Supponiamo che accada un evento in un sistema solidale con il sistema O' e che duri, rispetto ad O', un tempo Δt'=t'₂ - t'₁. Quanto dura l'evento rispetto ad O ? In effetti O' ha le TdL per saperlo. Applichiamole:

∆ t = t_{2} - t_{1} = \frac{t'_{2} + (\frac{β^{2}}{v}) x'}{\sqrt{1 - β^{2}}} - \frac{t'_{1} + (\frac{β^{2}}{v}) x'}{\sqrt{1 - β^{2}}} = \frac{t'_{2} - t'_{1}}{\sqrt{1 - β^{2}}} = \frac{∆ t'}{\sqrt{1 - β^{2}}}

La posizione dell'evento rispetto O' non cambia durante l'evento perchè, abbiamo detto, l'evento è solidale con O'.
Si nota subito che l'evento per O dura di più (

γ = \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} > 1

) ovvero se si osserva un evento in moto dura di più rispetto allo stesso evento osservato da un sistema solidale con l'evento. Questa è una prima conseguenza delle TdL: la dilatazione temporale.
L'intervallo di tempo di un evento solidale con il sistema che l'osserva è detto tempo proprio.

2. LA CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE

Se dobbiamo misurare la lunghezza di un'auto in corsa bisogna stare attenti a rilevare la posizione della testa e della coda nello stesso tempo e ciò equivale a fargli una foto con un tempo di esposizione brevissimo, al limite uguale a zero. Altrimenti la foto sarà sfocata e la misura della lunghezza errata. Allora la corretta misura della lunghezza di un oggetto in moto è: L= x₂ - x₁ se t₂=t₁=t.
Ma cosa misurerà un sistema O' solidale con l'oggetto in moto ? Il sistema O lo sa perche ha le TdL:

L' = x'_{2} - x'_{1} = \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} (x_{2} - v t) - \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} (x_{1} - v t) = \frac{x_{2} - x_{1}}{\sqrt{1 - β^{2}}} = \frac{L}{\sqrt{1 - β^{2}}}

Si nota subito che la lunghezza per O' è maggiore (

γ = \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} > 1

) ovvero se si misura una lunghezza di un corpo da un sistema solidale con esso questa è maggiore della lunghezza del corpo fatta da un sistema rispetto al quale il corpo è in moto. Questa è una seconda conseguenza delle TdL: la contrazione delle lunghezze (contrazione perchè la lunghezza corretta è quella misurata dal sistema solidale con il corpo).

La lunghezza di un corpo misurata da un sistema rispetto al quale il corpo è fermo è detta lunghezza propria.

3. NON SIMULTANEITÀ DEGLI EVENTI

Se due eventi solidali con un sistema in moto, posti in posizioni diverse, sono simultanei rispetto al sistema in moto non saranno più simultanei rispetto al sistema di riferimento che sta osservando gli eventi in moto.

I due raggi di luce sono emessi simultaneamente da una lampada posta al centro del segmento. Lampada e segmento sono solidali. I raggi arrivano negli estremi simultaneamente. Un sistema in moto che osserva la simultanea emissione non osserva una simultanea ricezione.
Se si applicano le TdL si ottiene:

t_{2} - t_{1} = \frac{t' + (\frac{β^{2}}{v}) x'_{2}}{\sqrt{1 - β^{2}}} - \frac{t' + (\frac{β^{2}}{v}) x'_{1}}{\sqrt{1 - β^{2}}} = \frac{(\frac{β^{2}}{v}) (x'_{2} - x'_{1})}{\sqrt{1 - β^{2}}}

TRASFORMAZIONE DELLE VELOCITÀ

Adesso consideriamo un corpo in moto rispetto ad un sistema O e ad un sistema O' (a sua volta O' è in moto rispetto ad O). È importante anche in che direzione il corpo si muove rispetto alla direzione del moto di O', sempre rispetto ad O. Siccome questo lo possiamo scegliere poniamo l'asse x di O parallelo all'asse x di O'.
Le componenti della velocità del corpo rispetto ad O sono:

v_{x} = \frac{∆ x}{∆ t} v_{y} = \frac{∆ y}{∆ t} v_{z} = \frac{∆ z}{∆ t}

E quelle rispetto ad O' sono:

v'_{x} = \frac{∆ x'}{∆ t'} v'_{y} = \frac{∆ y'}{∆ t'} v'_{z} = \frac{∆ z'}{∆ t'}

Ora poichè O' si muove lungo l'asse x e non lungo l'asse y o z, le coordinate y e z si vedranno allo stesso modo da O o da O'.
Gli incrementi delle componenti spaziali e della componente temporale nel sistema O e nel sistema O' sono:

∆ x = \frac{∆ x' + v ∆ t'}{\sqrt{1 - β^{2}}} ∆ y = ∆ y' ∆ z = ∆ z' ∆ t = \frac{∆ t' + \frac{β^{2}}{v} ∆ x'}{\sqrt{1 - β^{2}}}

v_{x} = \frac{∆ x}{∆ t} = \frac{\frac{∆ x' + v ∆ t'}{\sqrt{1 - β^{2}}}}{\frac{∆ t' + \frac{β^{2}}{v} ∆ x'}{\sqrt{1 - β^{2}}}} = \frac{∆ x' + v ∆ t'}{∆ t' + \frac{β^{2}}{v} ∆ x'} = \frac{\frac{∆ x'}{∆ t'} + \frac{v ∆ t'}{∆ t'}}{\frac{∆ t'}{∆ t'} + \frac{β^{2}}{v} \frac{∆ x'}{∆ t'}} = \frac{v'_{x} + v}{1 + β^{2} \frac{v'_{x}}{v}} = \frac{v'_{x} + v}{1 + β \frac{v'_{x}}{c}}

v_{y} = \frac{∆ y}{∆ t} = \frac{∆ y'}{\frac{∆ t' + \frac{β^{2}}{v} ∆ x'}{\sqrt{1 - β^{2}}}} = \frac{∆ y' \sqrt{1 - β^{2}}}{∆ t' + \frac{β^{2}}{v} ∆ x'} = \frac{\frac{∆ y'}{∆ t'} \sqrt{1 - β^{2}}}{\frac{∆ t'}{∆ t'} + \frac{β^{2}}{v} \frac{∆ x'}{∆ t'}} = \frac{v'_{y} \sqrt{1 - β^{2}}}{1 + β^{2} \frac{v'_{x}}{v}} = \frac{v'_{y} \sqrt{1 - β^{2}}}{1 + β \frac{v'_{x}}{c}}

v_{z} = \frac{∆ z}{∆ t} = \frac{∆ z'}{\frac{∆ t' + \frac{β^{2}}{v} ∆ x'}{\sqrt{1 - β^{2}}}} = \frac{∆ z' \sqrt{1 - β^{2}}}{∆ t' + \frac{β^{2}}{v} ∆ x'} = \frac{\frac{∆ z'}{∆ t'} \sqrt{1 - β^{2}}}{\frac{∆ t'}{∆ t'} + \frac{β^{2}}{v} \frac{∆ x'}{∆ t'}} = \frac{v'_{z} \sqrt{1 - β^{2}}}{1 + β^{2} \frac{v'_{x}}{v}} = \frac{v'_{z} \sqrt{1 - β^{2}}}{1 + β \frac{v'_{x}}{c}}

v'_{x} = \frac{v_{x} - v}{1 - β \frac{v_{x}}{c}}; v'_{y} = \frac{v_{y} \sqrt{1 - β^{2}}}{1 - β \frac{V_{x}}{c}}; v'_{z} = \frac{v_{z} \sqrt{1 - β^{2}}}{1 - β \frac{V_{x}}{v}}

PICCOLA INTRODUZIONE ALLA RELATIVITÀ RISTRETTA

LE CONSEGUENZE DELLE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ

1. LA DILATAZIONE TEMPORALE

2. LA CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE

3. NON SIMULTANEITÀ DEGLI EVENTI

TRASFORMAZIONE DELLE VELOCITÀ