1-30 POLIGONI E CIRCONFERENZE

POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI

In un esagono regolare congiungi i punti medi di due coppie di lati opposti. Dimostra che tali segmenti sono le diagonali di un rettangolo
Disegna un ottagono regolare. Prolunga da entrambe le parti quattro lati, alternando un lato si e un lato no. Dimostra che i prolungamenti dei lati individuano un quadrato.
In un esagono regolare scegli due vertici opposti. Da questi vertici traccia le due diagonali non passanti per il centro. Dimostra che queste, incontrandosi, determinano un rombo.
Disegna un triangolo ABC inscritto in una circonferenza di centro O e il diametro CD, e determina l’ortocentro H. Dimostra che: AH è parallelo a BD; AB e HD si bisecano. Caso particolare: se il triangolo ABC è equilatero, come sono i punti O e H? Sono ancora vere le tesi ?
Dato un triangolo equilatero di centro O, traccia gli assi dei segmenti OA, OB, OC, che incontrano i lati del triangolo in sei punti. Dimostra che tali punti sono i vertici di un esagono regolare.
Disegna un esagono regolare ABCDEF, la diagonale AC e le due diagonali BD e BF. Dimostra che AC è divisa dalle altre due diagonali in tre parti congruenti.
Nel triangolo ABC inscritto in una circonferenza indica con H l’ortocentro. Traccia la corda BE perpendicolare ad AB. Dimostra che BE ≅ CH.
Nel triangolo equilatero ABC, inscritto in una circonferenza, indica con D ed E i punti medi dei gli archi BC e CA. Dimostra che la corda ED, incontrando i lati AC e BC, viene suddivisa in tre parti congruenti.
Dimostra che se un poligono è sia inscrivibile che circoscrivibile a due circonferenze concentriche, allora è regolare.
Considera un pentagono regolare e dimostra che ogni diagonale ne divide un’altra in due parti di cui la maggiore è congruente al lato del pentagono.
Un trapezio isoscele è circoscritto a una semicirconferenza. Dimostra che la base maggiore è congruente alla somma dei lati obliqui. Considera anche il caso del trapezio scaleno e del trapezio rettangolo.
Considera una circonferenza e quattro rette a essa tangenti, a due a due parallele. Indica con A, B, C, D i punti di contatto con la circonferenza e con P, Q, R, S i punti intersezione delle rette fra loro. Dimostra che: PQRS è un rombo; ABCD è un rettangolo
Disegna un quadrato ABCD di diagonale AC, congiungi il punto medio M di AB col punto medio N di AD e prolunga MN fino a incontrare in E il prolungamento di CD. Dimostra che: AC è perpendicolare a MN; CN è perpendicolare ad AE; AMDE è un parallelogramma
Disegna un triangolo ABC e le sue altezze AE, BF, CD, che individuano l’ortocentro H. Dimostra che le altezze di ABC sono le bisettrici del triangolo DEF
Nel triangolo ABC inscritto in una circonferenza di centro O e diametro AD, a partire dal vertice , traccia l'altezza AH e la bisettrice AE. Dimostra che $H \hat{A} E ≅ E \hat{A} D$ .
Nel triangolo acutangolo ABC traccia le altezze BH e CK e indica con O l’ortocentro. Dimostra che sono inscrivibili in una circonferenza i quadrilateri: a) AKOH; b) BCHK.
Disegna due triangoli isosceli ABC e ABD aventi la base AB in comune e i vertici C e D da parti opposte rispetto ad AB. Dimostra che il quadrilatero ACBD è circoscrivibile a una circonferenza.
Dopo aver disegnato una circonferenza di diametro AB, traccia le rette a e b tangenti rispettivamente in A e B alla circonferenza. Dai punti C e D di a, equidistanti da A, traccia le tangenti alla circonferenza. Indica con E e F i punti in cui tali tangenti incontrano b. Dimostra che il quadrilatero CDFE è un trapezio isoscele.
Dagli estremi di una corda AB della circonferenza di centro O, traccia due corde AC e BD a essa perpendicolari. Dimostra che il quadrilatero ABDC è un rettangolo.
Dal punto medio H della corda AB della circonferenza di centro O, traccia il diametro CD (in modo tale che l’arco $\overset{︵}{ADB}$ sia minore dell’arco $\overset{︵}{ACB}$ . Dal punto D traccia una corda DE che incontra AB in F. Dimostra che il quadrilatero ECHF è inscrivibile in una circonferenza.
Un quadrilatero convesso ABCD inscritto in una circonferenza ha i due angoli $\hat{B}$ e $\hat{D}$ opposti congruenti. Dimostra che: $\hat{B}$ e $\hat{D}$ sono angoli retti; $A \hat{C} B ≅ A \hat{D} B$ , $A \hat{C} D ≅ A \hat{B} D$
Disegna un angolo convesso aOb. Internamente all’angolo segna un punto P e traccia le distanze PR e PQ dai lati dell’angolo. Dimostra che il quadrilatero OQPR è inscrivibile in una circonferenza, di cui devi precisare il diametro.
In una semicirconferenza di diametro AB inscrivi un trapezio ABCD. Dimostra che il trapezio è isoscele e che la diagonale è perpendicolare al lato obliquo.
Dimostra che, in ogni trapezio circoscritto a una circonferenza di centro O, i due triangoli che si ottengono congiungendo il punto O con gli estremi dei lati obliqui sono rettangoli.
Dimostra che, in un trapezio isoscele circoscritto a una semicirconferenza, il lato obliquo è congruente alla metà della base maggiore.
Considerato il triangolo rettangolo EFC, di ipotenusa EF, traccia l’altezza CA, il punto medio D di EC e il punto medio B di FC. Dimostra che ABCD è inscrivibile in una circonferenza, di cui devi speciﬁcare centro e raggio.
Dato il quadrilatero ABCD, traccia le bisettrici dei suoi angoli e indica con L, M, N, P i loro punti d’incontro. Dimostra che LMNP è un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza.
In un triangolo rettangolo ABC, avente per base l’ipotenusa BC, traccia l'altezza AH . Da H manda le perpendicolari ai cateti indicando con E l'intersezione con AB e con D l'intersezione con AC. Dimostra che: A, E, H, D sono punti di una stessa circonferenza; il quadrilatero EBCD è inscrivibile in una circonferenza.
Disegna un triangolo rettangolo ABC, avente la base nell’ipotenusa AB. Puntando il compasso in A, riporta su AB un segmento AD≅AC. Dal punto D conduci la perpendicolare ad AB, che incontra BC in E e il prolungamento di AC in F. Dimostra che: AE è bisettrice dell’angolo A ; CD // BF; il trapezio CFBD è isoscele; il trapezio CFBD e inscrivibile in una circonferenza.
Nel triangolo ABC, inscritto in una circonferenza, traccia la corda BE perpendicolare al lato AC, la corda CF perpendicolare al lato AB e la corda AD perpendicolare al lato BC. Dimostra che C è punto medio dell’arco ED, come pure B è medio di FD e A è medio di EF.