ESERCIZI DI STATISTICA


  1. Se a e b sono numeri positivi assegnati qual è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica? Quale delle due è più grande? E perché? Come si generalizzano tali medie se i numeri assegnati sono n? (pni 2002)

R. Ma > Mg

  1. Sia γ la curva d'equazione: y=k e - λ x 2  ove k e λ sono parametri positivi.
    • Sapendo che   ∫ - ∞ + ∞ e - x 2 ⁢ ⅆ x = π  assumendo λ = 1/2, si trovi il valore da attribuire a k affinché l'area compresa tra γ e l'asse x sia 1.
    • per i valori di k e λ sopra attribuiti, γ è detta curva standard degli errori o delle probabilità o normale di Gauss (da Karl Friedrich Gauss, 1777-1855). Una media μ≠0 e uno scarto quadratico medio σ≠1 come modificano l'equazione e il grafico? (pni 2004)
R. k= 1/√(2π)
  1. Il 40% della popolazione di un Paese ha 60 anni o più. Può l'età media della popolazione di quel Paese essere uguale a 30 anni? Si illustri il ragionamento seguito per dare la risposta. (pni 2005)
R. Si
  1. Si consideri la funzione f⁡(x)= 1 σ 2 π e ( x- μ ) 2 2 σ 2 . Se ne spieghi l'importanza nelle applicazioni della matematica illustrando il significato di μ, σ, σ², e come tali parametri influenzino il grafico di f(x). (pni 2007)
    R.
  1. Alla festa di compleanno di Anna l'età media dei partecipanti è di 22 anni. Se l'età media degli uomini è 26 anni e quella delle donne è 19, qual è il rapporto tra il numero degli uomini e quello delle donne? (pni 2009)

R. Nu/Nd= 3/4

  1. Nel Liceo Scientifico «Torricelli» vi sono 4 classi quinte, i cui alunni sono distribuiti per sezione e per sesso in base alla seguente tabella:

Sezione
Sesso
 A
 B
 C
 D
M
 12
 10
 13
 8
F
 16
 18
 15
 20

  1. Rappresentare graficamente la situazione per mezzo di un istogramma.
  2. Calcolare le distribuzioni marginali degli studenti per sezione e per sesso.
  3. Calcolare la probabilità che, scelta a caso una coppia di studenti della 5a A, questa sia formata da alunni di sesso:
1) maschile                                     2) femminile                                       3) differente.

Quanto vale la somma delle tre probabilità trovate?
  1. Calcolare la probabilità che, scelti a caso una classe e, in essa, una coppia di studenti, questa sia formata da alunni di sesso differente.
  2. Scelto a caso un alunno di quinta del Liceo in questione e constatato che si tratta di uno studente di sesso maschile, calcolare la probabilità che esso provenga dalla 5D. (pni suppl. 2004)

  1. Data la funzione f⁡(x)=a e - | x-2 | 2   ,
    1. determina il valore del parametro reale a in modo tale che la funzione rappresenti una densità di probabilità in R di una variabile casuale continua X;
    2. rappresenta graficamente la funzione;
Con il valore ottenuto determina:
  1. il valor medio e la varianza di X;
  2. la funzione di ripartizione F(x).
  1. La distribuzione di Poisson descrive molto bene il conteggio delle disintegrazioni in un campione di nuclidi radioattivi se il campione è sufficientemente numeroso. Un campione radioattivo contenga 2·1010 nuclidi ciascuno dei quali ha probabilità p = 10-10 di decadere in un secondo. Calcolare:
    1. Il numero medio atteso di decadimenti in un secondo,
    2. le probabilità di osservare 0, 1, 2, 3, e 4 decadimenti in un secondo,
    3. la probabilità di osservare più di 4 decadimenti in un secondo.  (pni 1997)
Soluzione
  1. Al servizio di soccorso stradale di una certa città, aperto 24 ore su 24, arrivano in media 48 chiamate al giorno, due in media all’ora, secondo una distribuzione di Poisson.
    Il candidato:
    1. calcoli la probabilità che nella prima ora arrivino almeno due chiamate;
    2. calcoli la probabilità che il tempo di attesa fino alla prima chiamata di un certo giorno sia di almeno un’ora;
    3. tenendo presente che il 45% delle chiamate è effettuato da donne che nel 90% dei casi richiedono l’intervento del carro attrezzi, mentre tale intervento è richiesto dagli uomini nel 75% dei casi, determini, se si registra una richiesta di intervento del carro attrezzi, quale è la probabilità che la richiesta sia stata effettuata da un uomo;
    4. calcoli quale è il numero medio di richieste di carro attrezzi per ora. (pni 1996)
  1. La funzione di ripartizione di una distribuzione di probabilità continua è così definita: F(x) ={ 0 x<3 x-3 9 3 ≤ x ≤ 12 1 x>12 
  1. Scrivere l'espressione analitica della funzione densità di probabilità
  2. Rappresentare graficamente la funzione di ripartizione e la densità di probabilità
  3. Calcolare le probabilità: p(5<x<10);  p(x<8);  p(x>19)

    R: 5/9; 5/9;  1

  1. Data una variabile casuale X la cui distribuzione di probabilità è approssimata dal modello: f(x) ={ a x 0<x ≤ 1 0 x>1

    1. si determini il valore del parametro reale a in modo tale che la funzione rappresenti una densità di probabilità
    2. si studi e si rappresenti graficamente la f(x);
    3. si determini la funzione di ripartizione corrispondente e si calcoli la probabilità che la variabile X assuma un valore:
      1. inferiore a 0,25;
      2. superiore a 0,8.
    R: a= 1/2; 50%; 10.56%
  2. Da un mazzo di 52 carte (13 di picche, 13 di cuori, 13 di fiori e 13 di quadri) ne vengono estratte cinque con reinserimento. Si è interessati alla variabile casuale X che descrive il numero di carte di cuori ottenute nelle estrazioni. Determinare:
    1. il valore atteso e la varianza della variabile X;
    2. la probabilità di estrarre tre carte di cuori;
    3. la probabilità di estrarre almeno tre carte di cuori;
    4. la probabilità di estrarre al più tre carte di cuori.
R: 1.25; 12; 8.79%; 10.35%; 98.44% 
  1. Il tempo di vita di una certa specie di plancton può essere rappresentato come una variabile aleatoria uniforme continua sull’intervallo [1, 10].
    1. Calcolare il tempo medio di vita.
    2. Calcolare la probabilità che il tempo di vita sia compreso tra 4 e 5.
    3. Calcolare la probabilità che il tempo di vita sia maggiore di 5.

R: 5.5; 1/9: 5/9

  1. Un’indagine effettuata in passato ha permesso di rilevare che il numero medio annuo di shock anafilattici che si riscontrano nella popolazione di un Paese scandinavo è 12.
    1. Calcolare la probabilità che si verifichino 3 shock in un anno.
    2. Calcolare la probabilità che si verifichino al più 2 shock in un anno.
    3. Calcolare la probabilità che si verifichino almeno 3 shock in un anno.

R: R: 0.177%; 0.052%; 99.95%

  1. Una colonia di 100 batteri presenta una percentuale del 55% di batteri mutati. Si osserva un campione di 10 batteri della colonia. Qual'è la probabilità che 5 dei 10 batteri osservati siano mutati?
        R: 24.55%
  1. Sulla base della passata esperienza il responsabile della produzione di un’azienda ritiene che solo l’80% dei pezzi prodotti superi il controllo di qualità.  Determinare la probabilità che di 8 pezzi prodotti:
    1. cinque pezzi superino il controllo di qualità;
    2. tutti i pezzi superino il controllo di qualità;  
    3. almeno 2 pezzi superino il controllo di qualità
R: 14.7%; 16.7%;  99.99%
  1.  Una partita di calcetto dura 60 minuti ed è stata suddivisa in 4 quarti da 15 minuti. Le sostituzioni dei giocatori sono illimitati. Si supponga che i minuti in cui un certo giocatore è impiegato seguano la seguente funzione di densità di probabilità: 
f(x) ={ 0 x<0 0.01 0 ≤ x<15 0.0167 15 ≤ x<30 0.0233 30 ≤ x<45 0.0167 45 ≤ x<60 0 x ≥ 60
  1. Rappresenta graficamente la f(x) , ricava e rappresenta graficamente  la funzione di ripartizione F(x)
  2. Qual'e la probabilità che il giocatore giochi dal terzo quarto in poi?
  3. Qual'e la probabilità che il giocatore giochi i 20 minuti centrali della partita?
  4. Qual'e la probabilità che il giocatore giochi i primi 40 minuti della partita?

    R: 60%; 40%; 63%; 
  1. La Variabile Casuale Esponenziale (Negativa) modellizza il tempo di attesa prima del verificarsi di un determinato evento. In particolare, se X è il tempo di attesa, : f(X)= λ·e-λx se x ≥ 0 e f(X)= 0 altrimenti. Il parametro della distribuzione λ rappresenta il reciproco del tempo medio  del verificarsi dell'evento considerato.  Consideriamo la seguente situazione: "Il responsabile dell'illuminazione di un palazzo ha a disposizione 3 lampadine di riserva. Ciascuna delle lampadine utilizzate dura in media 200 ore e il responsabile deve aspettare 24 ore perché gli vengano consegnate nuove lampadine di riserva. In altre parole, se si fulminano piu di tre lampadine entro le 24 ore, il responsabile non sarà in grado di sostituirle".
Qual'è la probabilità che il responsabile non sia in grado di sostituire le eventuali lampadine fulminate ?
R: 0.14%
  1. Una certa variabile  aleatoria ha la funzione densità di probabilità approssimata dal modello:   f(x)= { 0 x<0 a x 2 0 ≤ x<1 a 1 ≤ x<2 -a( x-3 ) 2 ≤ x<3 0 3 ≤ x  
a) Si determini a in modo che la f(x) sia una densità di probabilità
b) Si tracci il grafico della f(x)
c) Si ricavi la funzione di ripartizione
d) Si calcoli il valore medio della variabile aleatoria e la varianza
e) Si calcoli la probabilità che la variabile aleatoria x sia al massimo x= 2
f) Si calcoli al probabilità che la variabile aleatoria sia compresa fra 2.5 e 3
g) Si calcoli la probabilità che la variabile aleatoria sia almeno x= 1
  1. Una certa variabile  aleatoria ha la funzione densità di probabilità approssimata dal modello:   f(x)= { 0 x<0 ax+1 0 ≤ x<1 a-x+2 1 ≤ x<2 a 2 ≤ x<3 a( 4-x ) 3 ≤ x<4 0 4 ≤ x 
a) Si determini a in modo che la f(x) sia una densità di probabilità
b) Si tracci il grafico della f(x)
c) Si ricavi la funzione di ripartizione
d) Si calcoli il valore medio della variabile aleatoria e la varianza
e) Si calcoli la probabilità che la variabile aleatoria x sia al massimo x= 2
f) Si calcoli al probabilità che la variabile aleatoria sia compresa fra 3 e 4
g) Si calcoli la probabilità che la variabile aleatoria sia almeno x= 3